Induktion bei überabzählbaren Indizes

14.04.2010, 11:24

Golly

Induktion bei überabzählbaren Indizes

Hallo,

mal eine allgemeine Frage:
Manche Definitionen bezüglich einer beliebigen (unendlichen) Menge $\begin{eqnarray*} M=\bigcup_{j \in J} T_{j} \end{eqnarray*}$ mit (potenziell überabzählbarem) Index J nutzen die Formulierung "Aussage X gilt für alle endlichen Teilmengen $\begin{eqnarray*} i \in I \subset J \end{eqnarray*}$ der Indexmenge".

Zum Beispiel: Doppelreihensatz, stochastische Unabhängigkeit, ...

Wenn ich einen abzählbaren Index habe, kann ich das über vollständige Induktion lösen (wie beim Doppelreihensatz bzw. Äquivalenz von Voraussetzung im Doppelreihensatz mit absoluter Konvergenz).
Aber wie funktioniert das bei überabzählbaren Indizes? Wie kann ich von Eigenschaften aller endlichen Teilmengen auf Eigenschaften von M schliessen? Ist der Endlichkeitssatz hier anwendbar (sorry, habe mich nicht mit Logik beschäftigt, deshalb ist mir das nicht so klar)?

Danke für eure Hilfe!

Golly

14.04.2010, 11:29

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktion bei überabzählbaren Indizes
Jop, hätte auch direkt Kompaktheitssatz gesagt.

14.04.2010, 12:52

Golly

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktion bei überabzählbaren Indizes
Gut, danke schonmal.
Die konkrete Anwendung des Kompaktheitssatzes auf diese Fälle ist mir aber noch nicht so klar.

Am besten mal ein Beispiel:
Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega,\Sigma,P) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ eine nichtleere Indexmenge und $\begin{eqnarray*} (\Sigma_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Sigma_i\subset \Sigma \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ eine Menge nichtleerer Mengensysteme, so heißen $\begin{eqnarray*} (\Sigma_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ ''stochastisch unabhängig'', wenn für jede endliche Teilmenge, $\begin{eqnarray*} J\subset I \end{eqnarray*}$ und alle Wahlen $\begin{eqnarray*} A_j\in\Sigma_j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} j\in J \end{eqnarray*}$ gilt:
: $\begin{eqnarray*} P(\cap_{j\in J} A_j) = \Pi_{j\in J} P(A_j) \end{eqnarray*}$ .

Der Kompaktheitssatz betrachtet doch eine Formelmenge.
Wenn M abzählbar ist, sind dann die Elemente der Formelmenge quasi die Formeln $\begin{eqnarray*} P(\cap_{j\in J} A_j) = \Pi_{j\in J} P(A_j) \end{eqnarray*}$ für alle J, die Elemente der Potenzmenge von M sind? Wird also jedem Element der Potentzmenge von M eine Formel in der Formelmenge zugewiesen? Aber dann gäbe es ja auch Elemente der Formelmenge mit unendlichen Teilmengen der Indexmenge, die erfüllt sein müssten.
Bei überabzählbaren Mengen M sowieso.

Kann mir das jemand erklären. Komme irgendwie nicht dahinter, wie ich aus diesem Satz eine Formelmenge hinbekommen, so dass der Endlichkeitssatz anwendbar ist ...

14.04.2010, 13:47

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktion bei überabzählbaren Indizes
Transfinite Induktion

14.04.2010, 13:47

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktion bei überabzählbaren Indizes
Das hier ist doch gar kein Beweis für irgendwas, sondern eine Definition. Du brauchst hier den Kompaktheitssatz nicht, da du nichts beweisen willst. Du könntest dich allenfalls fragen, ob diese Definition eine konsistente Verallgemeinerung des normalen stochastischen Unabhängigkeitsbegriffs ist.

14.04.2010, 15:01

Golly

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktion bei überabzählbaren Indizes
Das war doch genau meine Frage, warum es eine konsistente Verallgemeinerung ist bzw. warum es ausreichend ist, Eigenschaften von unendlichen Mengen/Familien wie z.B. die stochastische Unabhängigkeit für endliche Teilmengen/-familien zu definieren.

Transfinite Induktion dürfte das richtige Stichwort sein, da Indexmengen wohlgeordnet sein sollten, obwohl ich dies in den besagten Fällen nie explizit als Voraussetzung gelesen habe.

14.04.2010, 15:27

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktion bei überabzählbaren Indizes

Zitat:

Das war doch genau meine Frage, warum es eine konsistente Verallgemeinerung ist bzw. warum es ausreichend ist, Eigenschaften von unendlichen Mengen/Familien wie z.B. die stochastische Unabhängigkeit für endliche Teilmengen/-familien zu definieren.

Das sind für mich zwei verschiedene Fragestellungen. Um zu schauen, ob die hiesige Definition eine konsistente Verallgemeinerung der klassischen Definition ist, musst du dir die Indexmenge bloß als endlich denken und überprüfen, ob dann beide Versionen dasselbe aussagen.

Die Frage nach dem Ausreichen verstehe ich allerdings nicht. Ausreichend für was? Das klingt so, als ob du bereits irgendwelche Eigenschaften von überabzählbar vielen unabhängigen Mengen kennst und dich nun fragst, wie das zu der Definition passt. Falls das der Fall ist, um welche Eigenschaften geht es dann konkret?

14.04.2010, 17:44

Golly

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktion bei überabzählbaren Indizes
Ich habe das jetzt so verstanden, dass man z.B. aufgrund der Definition der stochastischen Unabhängigkeit wegen der transfiniten Induktion auch folgern kann, dass für jede unendliche Teilmenge J von M (und natürlich auch M selbst) gilt:
$\begin{eqnarray*} P(\cap_{j \in J} A_{j})= \prod_{j \in J}P(A_{j}) \end{eqnarray*}$

So habe ich das Verallgemeinern verstanden: von dem endlichen Fall auf den Fall einer beliebigen, möglicherweise unendlichen oder gar überabzählbaren Indexmenge.

Und deshalb habe ich auch "ausreichend" geschrieben, weil diese Eigenschaft, z.B. stoch. Unabh., falls sie für alle endlichen Teilmengen gilt, impliziert, dass sie auch für die unendlichen Teilmengen gilt, weil die Eigenschaft induktiv für jeden Nachfolger gilt.

Stimmt das so? Oder rede ich dummes Zeug???

Man kann doch durch vollständige Induktion auch aus $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j \in J} A_{j}\leq K, K\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ für jede endliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} J \subset \mathbb N \end{eqnarray*}$ induktiv schliessen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{\infty} A_{j}\leq K \end{eqnarray*}$ .
Oder stimmt das auch nicht?

Dann geht es quasi um das Analogon für den Fall, dass die Indexmenge nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist, sondern überabzählbar (und keine Summe, sondern irgendeine andere Eigenschaft).

14.04.2010, 23:56

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktion bei überabzählbaren Indizes

Zitat:

Ich habe das jetzt so verstanden, dass man z.B. aufgrund der Definition der stochastischen Unabhängigkeit wegen der transfiniten Induktion auch folgern kann, dass für jede unendliche Teilmenge J von M (und natürlich auch M selbst) gilt:
$\begin{eqnarray*} P(\cap_{j \in J} A_{j})= \prod_{j \in J}P(A_{j}) \end{eqnarray*}$

So habe ich das Verallgemeinern verstanden: von dem endlichen Fall auf den Fall einer beliebigen, möglicherweise unendlichen oder gar überabzählbaren Indexmenge.

Nein, Verallgemeinerung heißt hier, dass sich diese Definition mit endlicher Indexmenge mit der klassischen Definition deckt, und dass es neue überabzählbare Mengenfamilien gibt, die man nun auch stoch. unabhängig nennen darf. Das bedeutet, was früher stochastisch unabhängig hieß, heißt mit der neuen Definition auch unabhängig und darüber hinaus gibt es noch anderes, was man unabhängig nennen darf.

Im übrigen müsstest du da oben überhaupt definieren, was das Produkt von überabzählbar vielen Zahlen sein soll. Mir ist keine Definition dafür bekannt.

Zitat:

Man kann doch durch vollständige Induktion auch aus $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j \in J} A_{j}\leq K, K\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ für jede endliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} J \subset \mathbb N \end{eqnarray*}$ induktiv schliessen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{\infty} A_{j}\leq K \end{eqnarray*}$ .
Oder stimmt das auch nicht?

Ob das jetzt explizit durch Induktion beweisbar ist, weiß ich gerade nicht.
Wichtig ist, dass in diesem Fal bereits definiert ist, was die Summen von endlichen und abzählbar unendlich vielen Zahlen sein sollen. Du hast also eine Aussage und folgerst daraus eine andere.

Neue Frage »

Antworten »

Induktion bei überabzählbaren Indizes

Verwandte Themen