Fixpunktsatz

14.04.2010, 14:31

Seren

Fixpunktsatz

Hey,
Ich sitz an einer Aufgabe und bräuchte Denkanstöße:

Sei $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ein kompakter metrischer Raum und $\begin{eqnarray*} T:X\to X \end{eqnarray*}$ eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft
$\begin{eqnarray*} d(Tx,Ty) < d(x,y) \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} x \ne y \end{eqnarray*}$ .
Zeige, dass dann genau ein Fixpunkt $\begin{eqnarray*} x* \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} Tx*=x* \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß damit nicht viel anzufangen, der einzige Fixpunktsatz, den ich kenne, ist der von Banach. Hab mich bei Wiki ein bisschen erkundigt und dieser Fixpunktsatz sieht dem vom Schauder am ähnlichsten. Jedoch sind da mehr Voraussetzungen und der Beweis ist für mich nicht nachvollziehbar.

Das einzige, was ich sagen kann, ist, dass die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} d(Tx,Ty) < d(x,y) \end{eqnarray*}$ impliziert, dass $\begin{eqnarray*} \exists c \in [0,1): d(Tx,Ty)=c\cdot d(x,y) \end{eqnarray*}$ . Das geht, da X kompakt ist.
Weiter weiß ich nicht. Kann mir jemand eine Richtung weisen oder jedenfalls sagen, ob meine Vorüberlegung korrekt ist?

Seren

14.04.2010, 14:42

tmo

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RE: Fixpunktsatz

Zitat:

Original von Seren
Das einzige, was ich sagen kann, ist, dass die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} d(Tx,Ty) < d(x,y) \end{eqnarray*}$ impliziert, dass $\begin{eqnarray*} \exists c \in [0,1): d(Tx,Ty)=c\cdot d(x,y) \end{eqnarray*}$ . Das geht, da X kompakt ist.

Das ist doch schon die halbe Miete. Allerdings muss da ein kleinergleich hin. Jetzt hast du alle Vorraussetzungen für Banach.

14.04.2010, 15:08

Seren

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okay.
und dann kann man doch folgendes machen:
Seien $\begin{eqnarray*} x*,y* \end{eqnarray*}$ zwei Fixpunkte, so gilt:
$\begin{eqnarray*} d(x*,y*)=d(Tx*,Ty*)\le c\cdot d(x*,y*)=> (1-c)\cdot d(x*,y*) \le 0=>d(x*,y*)=0 <=> x*=y* \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} 1-c >0 \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} d(x*,y*)=0 \end{eqnarray*}$ gelten und somit sind $\begin{eqnarray*} x* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y* \end{eqnarray*}$ identisch.

stimmt das so?

14.04.2010, 18:24

tmo

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Ja, aber man kann sich das Leben bzgl. der Eindeutigkeit auch einfacher machen:

Seien $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^* \end{eqnarray*}$ zwei verschiedene Fixpunkte.

Dann gilt $\begin{eqnarray*} d(x^*,y^*)=d(Tx^*,Ty^*)<d(x^*,y^*) \end{eqnarray*}$

Widerspruch!

14.04.2010, 19:31

bernd

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RE: Fixpunktsatz
Der Ansatz funktioniert nicht. Nimmt man $\begin{eqnarray*} X=[0,1] \end{eqnarray*}$ mit der üblichen Metrik und $\begin{eqnarray*} T:X \to X, Tx=\frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} d(Tx,Ty)=|Tx-Ty|=\frac{1}{2}|x-y|\cdot |x+y| \le \frac{1}{2}|x-y| \cdot (|x|+|y|) < \frac{1}{2}|x-y| \cdot 2 = |x-y| \end{eqnarray*}$ . Aber für x,y gegen 1 gilt $\begin{eqnarray*} \frac{|Tx-Ty|}{|x-y|} \to 1 \end{eqnarray*}$ , weshalb das c, das man für Banach braucht, nicht existieren kann. Man kann aber zur Lösung der Aufgabe $\begin{eqnarray*} f:X \to \mathbb R, f(x)=d(Tx,x) \end{eqnarray*}$ definieren. Da X kompakt ist, muss f ein Minimum besitzen, das in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ angenommen wird. Per Widerspruch kann man dann zeigen, dass hier ein Fixpunkt von T vorliegt.

14.06.2011, 20:14

cashin0

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RE: Fixpunktsatz
Wie zeigt man denn jetzt mittels Widerspruch, dass das Minimum von $\begin{eqnarray*} f:X\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=d(Tx,x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ der Fixpunkt sein muss - und ist dadurch auch schon die Eindeutigkeit desselben gegeben?

edit:
Unser Aufgabenblatt enthält den Hinweis: Der Beweis läuft über eine Iterationsfolge $\begin{eqnarray*} x_{k}=\varphi(x_{k-1}) \end{eqnarray*}$ mit beliebigem $\begin{eqnarray*} x_{0} \in K \end{eqnarray*}$ . Hilfreich ist dann der Satz von Bolzano-Weierstraß: Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.

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