Würfeln

14.04.2010, 15:38

joehanes

Würfeln

So, jetzt hab ich gleich nochmal eine Frage:

Die Aufgabe: 2 Freunde spielen ein Spiel. Der Eine würfelt mit 2 Würfeln, das Produkt der beiden Würfe wird ihm vom Anderen ausgezahlt. Dieser verlangt jedoch pro Spiel 20ct Grundeinsatz. Haben beide den gleichen Erwartungswert?

und noch eine Frage nebenbei: Wenn ich die Gleichheit von Varianzen überprüfen will, mache ich das mittels F=((s1)^2)/((s2)^2). Wonach entscheide ich denn, welche Varianz ich in den Zähler setze? Meine Vermutung ist immer die größere. Ist das richtig?

Zur ersten Frage:

Es gibt 6*6 Möglichkeiten. Auf diejenigen, die über 20 ergeben, komme ich durch auszählen. Gibt es eine andere Möglichkeit?
4*5, 4*6
5*4, 5*5, 5*6
6*4, 6*5, 6*6

= 8 Möglichkeiten für Gewinn oder Gleichstand.

Ich komme jetzt nicht weiter. Muss ich, um den Erwartungswert zu bilden, nicht auch den durchschnittlichen Gewinn und den durchschnittlichen Verlust kennen? Oder reicht es, zu wissen, dass er in 8/36 der Fälle gewinnt? Ich stecke fest, vielleicht kann mir jemand weiterhelfen...

Dankeschön smile

14.04.2010, 15:55

Zellerli

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Es reicht nicht zu wissen, dass er in 8 von 36 Fällen gewinnt.

Was wenn er in diesen Fällen dafür deutlich mehr gewinnt, als er in den anderen verliert?
Wichtig ist festzuhalten, dass der Gewinn des einen der Verlust des anderen ist.
Was heißt das denn für den Erwartungswert, wenn er für beide gleich sein soll?

Es ist dann eigentlich nicht mehr schwer, aber um das saubere Berechnen kommst du nicht herum.

14.04.2010, 16:58

joehanes

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Also erstmal vielen Dank für deine Antwort!
Aber ich komme nicht wirklich weiter damit. Muss dazu sagen, dass ich versuche, einer Bekannten beim Lernen zu helfen und selbst Jahre von der Thematik entfernt bin.

Mein Verständnis bis jetzt:
Der Erw.Wert für Gewinn und Verlust soll gleich sein, wobei Gewinn alles über 20 und Verlust alles unter 20 ist. Meine Idee wäre, die 8/36 mit dem durchschnittlichen Gewinn und die 28/36 mit dem durchschnittlichen Verlust zu multiplizieren. Bei Gleichheit der Ergebnisse könnte man davon ausgehen, dass beide Erw.Werte gleich sind.
Allerdings ist doch schon der Durchschnitt ein Erwartungswert im weitesten Sinne, oder? Und wo bekomme ich den durchschnittlichen Gewinn oder Verlust her?

Hab gerade noch ewig mit ner exceltabelle rumgetüftelt, aber ich merke, dass mir einfach die theorie fehlt...

Wenn ihr euch meiner erbarmen würdet, mir den Rechenweg zu erklären, wäre ich superdankbar smile

14.04.2010, 18:13

Huggy

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Wenn du versuchst, einem anderen bei solchen Aufgaben zu helfen, musst du zwangsläufig erst mal dir selbst bestimmte Grundlagen in Erinnerung rufen. Dazu gehört die Definition und die anschauliche Bedeutung des Erwartungswertes.

Bei einer diskreten Zufallsgrüße X, die die Werte $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ (i = 1, ..., n) mit den Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ annimmt, ist der Erwartungswert E(X) definiert als:

$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum_{i=1}^n~p_ix_i \end{eqnarray*}$

Wenn es der Bequemlichkeit dient, kannst du zusätzliche x-Werte, die nicht vorkommen, mit der Wahrscheinlichkeit 0 einfügen.

Bei deinem Problem ist es naheliegend $\begin{eqnarray*} x_i=i \end{eqnarray*}$ mit i = 1 bis 36 zu wählen und den Zahlen, wie z. B. 7, die sich nicht als Produkt zweier Würfelzahlen ergeben, die Wahrscheinlichkeit 0 zu geben.

Jetzt sind die Wahrscheinlichkeiten der $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Sie ergeben sich aus der Anzahl der Realisierungsmöglichkeiten des Produkts. Ich bezeichne diese mal mit M und schreibe mal die ersten Werte hin:

$\begin{eqnarray*} x_1=1, M = (1,1), p_1=1/36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=2, M = \{(1,2),(2,1)\}, p_2=2/36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=3, M = \{(1,3),(3,1)\}, p_3=2/36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4=4, M = \{(1,4),(4,1),(2,2)\}, p_4=3/36 \end{eqnarray*}$

Diese Tabelle musst du vervollständigen. da sehe ich keine Abkürzung. Und dann kannst du E(X) ausrechnen.

$\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{1}{36}1+\frac{2}{36}2+\frac{2}{36}3+\frac{3}{36}4+ ... \end{eqnarray*}$

Ist E(x) > 20 erzielt man auf lange Sicht einen Nettogewinn, bei E(X) = 20 ist das Spiel fair, bei E(x) < 20 macht man auf lange Sicht einen Verlust.

14.04.2010, 18:57

joehanes

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lieber huggy, da hast du wohl recht... Desewegen auch VIELEN DANK, dass du dir die Mühe machst und mir hier weiterhilfst smile

hab mal eben eine exceltabelle aufgestellt und komme auf Erwartungswert 12,25 wenn man alles zusammenzählt.

Ich werde sie mal hier anhängen auch wenn sie eine Beleidigung für die Augen ist... Nur damit ihr seht, was ich für Zahlen habe... habe es der Lesbarkeit halber mit nur 2 Nachkommastellen übernommen, gerechnet hab ich mit mehr.

Z H wahrsch. E(x) E(x) kummuliert
01 1 0,03 0,03 0,03
02 2 0,06 0,11 0,14
03 2 0,06 0,17 0,31
04 3 0,08 0,33 0,64
05 2 0,06 0,28 0,92
06 4 0,11 0,67 1,58
07 0 0,00 0,00 1,58
08 2 0,06 0,44 2,03
09 1 0,03 0,25 2,28
10 2 0,06 0,56 2,83
11 0 0,00 0,00 2,83
12 4 0,11 1,33 4,17
13 0 0,00 0,00 4,17
14 0 0,00 0,00 4,17
15 2 0,06 0,83 5,00
16 1 0,03 0,44 5,44
17 0 0,00 0,00 5,44
18 2 0,06 1,00 6,44
19 0 0,00 0,00 6,44
20 2 0,06 1,11 7,56
21 0 0,00 0,00 7,56
22 0 0,00 0,00 7,56
23 0 0,00 0,00 7,56
24 2 0,06 1,33 8,89
25 1 0,03 0,69 9,58
26 0 0,00 0,00 9,58
27 0 0,00 0,00 9,58
28 0 0,00 0,00 9,58
29 0 0,00 0,00 9,58
30 2 0,06 1,67 11,25
31 0 0,00 0,00 11,25
32 0 0,00 0,00 11,25
33 0 0,00 0,00 11,25
34 0 0,00 0,00 11,25
35 0 0,00 0,00 11,25
36 1 0,03 1,00 12,25

Bedeutet das, dass das Spiel fair wäre, wenn der Einsatz für jedes Spiel 12,25ct wäre?

Die ursprüngliche Frage lautet ja: "Haben beide den gleichen Erwartungswert?" Kann man sagen, dass der E(x) vom Würfler (12,25-20)-> E(x)=(-7,75) ist, er also pro Spiel durchschnittlich 7,75ct verliert? Und dass der E(x) vom Nicht-Würfler (20-12,25) -> E(x)=7,5 ist, er also pro Spiel durchschnittlich 7,75ct gewinnt?

Vielen Dank

joehanes

14.04.2010, 19:28

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Mit dem für unabhängige $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ gültigem $\begin{eqnarray*} E(X\cdot Y) = E(X) \cdot E(Y) \end{eqnarray*}$ hättest du dir hier die Rechnung etwas einfacher machen können. Augenzwinkern

14.04.2010, 19:31

Huggy

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Zitat:

Original von joehanes
Bedeutet das, dass das Spiel fair wäre, wenn der Einsatz für jedes Spiel 12,25ct wäre?

Die ursprüngliche Frage lautet ja: "Haben beide den gleichen Erwartungswert?" Kann man sagen, dass der E(x) vom Würfler (12,25-20)-> E(x)=(-7,75) ist, er also pro Spiel durchschnittlich 7,75ct verliert? Und dass der E(x) vom Nicht-Würfler (20-12,25) -> E(x)=7,5 ist, er also pro Spiel durchschnittlich 7,75ct gewinnt?

Ich war zu faul, deine Tabelle komplett zu überprüfen.

Faulheit ist ein Privileg der Helfer!

Aber bei einer punktuellen Überprüfung habe ich keine Fehler entdeckt. Wenn sich also nicht irgendwo ein zufälliges Fehlerlein versteckt hat, ist alles korrekt. Bei den inhaltlichen Schlussfolgerungen würde sich eh nur der Zahlenwert ändern. Das Prinzip deiner Aussagen ist korrekt.

14.04.2010, 19:48

joehanes

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Mit dem für unabhängige $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ gültigem $\begin{eqnarray*} E(X\cdot Y) = E(X) \cdot E(Y) \end{eqnarray*}$ hättest du dir hier die Rechnung etwas einfacher machen können. Augenzwinkern

Das klingt mir logisch, was das aber bedeutet... ? Ich traue mich ja fast gar nicht zu fragen, aber meint E(X) dann den Erwartungswert, mit einem Würfel eine bestimmte Zahl zu würfeln und E(Y) den anderen Würfel? Nee, oder? Dann käme ich ja immer nur auf 1/6 mal 1/6...

Ich glaub ich steh im Wald...

@huggy: Danke fürs Erklären!

14.04.2010, 20:02

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Zitat:

Original von joehanes
aber meint E(X) dann den Erwartungswert, mit einem Würfel eine bestimmte Zahl zu würfeln und E(Y) den anderen Würfel?

Erwartungswerte sind keine Wahrscheinlichkeiten, aber du hast insofern recht, dass ich mit X und Y die Augenzahlen der beiden Würfel meine. Und für die ist

$\begin{eqnarray*} E(X) = E(Y) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5 \end{eqnarray*}$ .

14.04.2010, 20:06

Huggy

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Edit: siehe Arthur

14.04.2010, 20:06

joehanes

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ah, super! 3,5*3,5=12,25 Ich verstehe!

Das ist, sagen wir mal, weniger aufwendig Augenzwinkern

VIELEN DANK!!!

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