Stetigkeit - Folgenkriterium

14.04.2010, 16:37

Knobi

Stetigkeit - Folgenkriterium

Meine Frage:
Es geht darum, die partielle Differentierbarkeit der Funktion f zu beweisen und zu zeigen, dass f in (0,0) nicht stetig ist.
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{2xy}{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die nicht-stetigkeit wollte ich durch das Folgenkriterium zeigen.
Sei $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge für die gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0} x_{n} = 0 \end{eqnarray*}$

Es ist aber $\begin{eqnarray*} f(x_{n},x_{n})=1 \end{eqnarray*}$ also ist f nicht stetig???

Für die partielle Differentierbarkeit habe ich keinen Ansatz.

15.04.2010, 01:56

gonnabphd

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Zitat:

Es ist aber $\begin{eqnarray*} f(x_{n},x_{n})=1 \end{eqnarray*}$ also ist f nicht stetig???

Kommt grundsätzlich mal drauf an, wie die Funktion in (0,0) definiert ist. Wie ist sie definiert?

Zitat:

Für die partielle Differentierbarkeit habe ich keinen Ansatz.

Kannst du mir mal

$\begin{eqnarray*} g(x):= \frac{2c \cdot x}{x^2 + c^2} \end{eqnarray*}$

ableiten?

15.04.2010, 12:07

Knobi

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Vergessen: Es soll laut Vorschrift gelten: f(0,0)=0

Also nun das ableiten:

$\begin{eqnarray*} \frac{dg}{dx} = 2c\frac{c^2 - x^2}{(x^2 +c^2 )^2} \end{eqnarray*}$

Das heißt ich muss einfach partiell nach x und nach y ableiten... und dann was?

15.04.2010, 16:48

gonnabphd

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Zitat:

Vergessen: Es soll laut Vorschrift gelten: f(0,0)=0

Ja, dann kann die Funktion natürlich nicht stetig sein, denn sonst müssten für jede Nullfolge die Funktionswerte gegen Null gehen.

Die partielle Ableitung ist ja im Prinzip so definiert, dass man alle Variablen ausser derjenigen, nach welcher man partiell ableitet, als Konstanten ansieht.

Also kannst du c=y setzen und hast die partielle Ableitung nach x. (Insofern dir eh schon bekannt war, dass g(x) differenzierbar ist; sonst musst du das halt noch zeigen, aber sollte nicht der Fall sein)

Beachte auch, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = 0 = \frac{\partial f}{\partial y} (0,0) \end{eqnarray*}$

15.04.2010, 16:56

Knobi

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Doch, ich soll zeigen, dass sie überall differenzierbar ist. Da reicht es doch nicht einfach die partiellen Ableitungen zu berechnen, oder?

15.04.2010, 16:59

gonnabphd

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Aber, wenn dir schon bekannt ist, dass

2xy und x^2+y^2

partiell diff'bar sind, dann kannst du ja einfach mit dem Quotientenkriterium argumentieren.

Übrigens: meintest du nun die partielle Diffbarkeit oder die Diffbarkeit?

15.04.2010, 17:05

Knobi

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Die Aufgabe ist zu zeigen, dass f ÜBERALL partiell diffbar ist. Damit zu argumentieren, dass f eine Komposition diffbarer Funktionen ist, geht doch nicht für den Punkt (0,0) oder?

15.04.2010, 17:27

gonnabphd

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$\begin{eqnarray*} f(x,y):= \frac{2xy}{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} f(x,0)= 0 \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x} (x,0) = 0 \end{eqnarray*}$

15.04.2010, 17:31

Knobi

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Kann ich auch konkret den Differenzenquotienten an dem Punkt ausrechnen, in eine beliebige Richtung. Kommt auch null raus und ich finde das irgendwie eleganter Augenzwinkern

15.04.2010, 17:36

gonnabphd

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lol, natürlich darfst du das machen, wie du willst.

Das wichtige ist einfach zu sehen, dass die partielle Differenzierbarkeit nach allen Variablen noch nicht einmal die Stetigkeit impliziert.

15.04.2010, 17:40

Knobi

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Achsoooo...
und ich dachte deswegen, dass ich irgendwas total missverstehe, aber wenn das geht, super!

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