Nullstellen ganzrationaler Funktionen

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BustHead Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen ganzrationaler Funktionen
Meine Frage:
Hi,
ich schreibe morgen eine Klausur über das Thema und bin noch nicht wirklich fit darin. Und zwar geht es um das Berechnen von Nullstellen ganzrationaler Funktionen.
Ich weiß schon, dass wenn die Funktion 2. Grades ist, dass man die Nullstellen dann einfach mit der pq-Formel ausrechnen kann.
[1] Wenn die Funktion aber 3. Grades oder höher ist, muss mann wenn möglich ausklammern.
[2] Wenn das nicht geht, und die Funktion biquadratisch ist (also nur gerade Zahlen als Exponenten, oder?), dann muss man das Substationsverfahren anwenden.
[3] Geht das auch nich, und eine Nullstelle bekannt ist, löst man die Aufgabe mit der Polynomdivision.
[4] Geht auch das nicht, hilft nur noch das Näherungsverfahren (einfach einsetzen und probieren, bis 0 rauskommt, oder?


Jetzt meine Fragen zu den einzelnen Schritten:




[1] Wenn ich jetzt z.B. diese Funktion ausklammer:

f(x) = 3x³ - 2x² - 4x

dann sieht das ja so aus:

f(x) = x(2x² - 2x - 4)

So... Und was jetzt? Wie kriege ich die Nullstellen raus?




[2] Was ist das Substitionsverfahren? Ich glaube das ist irgendwas mit statt x² ein z einsetzen. Da weiß ich aber leider auch nicht wirklich, wie ich Nullstellen berechne.




[3] Tja, wie geht die Polynomdivision? Habe da leider gar keine Ahnung...

Meine Ideen:
Ich hoffe irgendjemand findet die Zeit und kann mir helfen. Ich weiß, es ist ziemlich viel was ich nicht kapiere, aber ich brauche das bis morgen...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Also zur [1]
Du hast ein Produkt. Dies ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.
Also entweder x=0 oder die Klammer ist 0 (zu lösen mit der pq-Formel)

zu [3]
Normal funktioniert das nur, wenn du eine Nullstelle bereits erraten kannst!
Sie ist (meistens!!) zwischen -2 und 2 zu finden!
Polynomdivision hier zu erklären wird aber glaube ich ein wenig zu viel.
Erst recht theoretisch...kannst du das vllt in deinem Mathebuch nachschlagen?

zu [2]
Substitution geht nur (wie du bereits sagtest) wenn die Exponenten z.B. so aussehen.
5x^4+3x²+2=0
Dann nimmst du die Substitution, genau wie du es sagtest -> z=x²

-> 5z²+3z+2=0
Jetzt wieder pq-Formel

Vergiss nicht zurückzusubstituieren!!! Du hast dein z...aber z=x² Forme um und erhalte x Augenzwinkern


Hoffe das war ein kleiner Einblick?!
BustHead Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Also zur [1]
Du hast ein Produkt. Dies ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.
Also entweder x=0 oder die Klammer ist 0 (zu lösen mit der pq-Formel)


Ah, okay. Das heißt bei der Beispielfunktion einfach das x vor der Klammer =0 setzen und dann mit der pq-Formel weiterrechnen. Und wenn die Funktion einen höheren Grad hat, dann muss mann ggf. auch nochmal das Substiotutionsverfahren anwenden, nicht wahr?

Zitat:
zu [3]
Normal funktioniert das nur, wenn du eine Nullstelle bereits erraten kannst!
Sie ist (meistens!!) zwischen -2 und 2 zu finden!
Polynomdivision hier zu erklären wird aber glaube ich ein wenig zu viel.
Erst recht theoretisch...kannst du das vllt in deinem Mathebuch nachschlagen?


Das ist es ja... Wir haben kein Mathebuch und ich habe auch keinen, der mir das erklären könnte...

Zitat:
zu [2]
Substitution geht nur (wie du bereits sagtest) wenn die Exponenten z.B. so aussehen.
5x^4+3x²+2=0
Dann nimmst du die Substitution, genau wie du es sagtest -> z=x²

-> 5z²+3z+2=0
Jetzt wieder pq-Formel

Vergiss nicht zurückzusubstituieren!!! Du hast dein z...aber z=x² Forme um und erhalte x Augenzwinkern


Cool, danke. Das habe ich schon mal verstanden!


Zitat:
Hoffe das war ein kleiner Einblick?!


Ja, vielen Dank! Hat mich schon einen kleinen Schritt weitergebracht!
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Nur einen kleinen Schritt Teufel Big Laugh

Hmm also damit wäre [2] geklärt?! (Wenn du Übung brauchst, poste einfach
eine Funktion die wir dann zusammen lösen Augenzwinkern )

[1] Stimmt soweit...es wäre möglich weiterhin eine Substitution durchzuführen
(In Schulaufgaben oder ähnliches aber SEHR selten!)


zu [3]

http://www.frustfrei-lernen.de/mathemati...omdivision.html
Schau mal hier (etwa Mitte) vllt hilft dir das schon weiter!
Für dort nur eine kleine Anmerkung...es ist etwas schlecht erklärt (was ich jetzt sage xD)
Wenn du eine Nullstelle findest...z.B. die Nullstelle a dann musst du durch (x-a) teilen!
MINUS a! (Lies es erst dort durch und dann wirst du verstehen was ich sagen will xD)


Viel Spaß Augenzwinkern
BustHead Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Nur einen kleinen Schritt Teufel Big Laugh

Hmm also damit wäre [2] geklärt?! (Wenn du Übung brauchst, poste einfach
eine Funktion die wir dann zusammen lösen Augenzwinkern )

[1] Stimmt soweit...es wäre möglich weiterhin eine Substitution durchzuführen
(In Schulaufgaben oder ähnliches aber SEHR selten!)


zu [3]


Schau mal hier (etwa Mitte) vllt hilft dir das schon weiter!
Für dort nur eine kleine Anmerkung...es ist etwas schlecht erklärt (was ich jetzt sage xD)
Wenn du eine Nullstelle findest...z.B. die Nullstelle a dann musst du durch (x-a) teilen!
MINUS a! (Lies es erst dort durch und dann wirst du verstehen was ich sagen will xD)


Viel Spaß Augenzwinkern



Danke, mit der Seite habe ich die Polynomdivision verstanden! Viele Dank! Ich muss nur noch ein bisschen üben, um sicherer zu werden.
Könntest du, wenn du Lust und Zeit hast, noch ggf. einige Funktionen posten? Dann könnte ich üben, das wäre nett! Muss auch nicht nur zum Thema Polynomdivision sein, sondern die ganze Bandbreite! Big Laugh
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Übung mit der Polynomdivision:

f(x)=x³-5x²+5x-1 (1)
Finde die Nullstellen


Hier mit Substitution:
x^4-13x²+36 (2)



Und hier?! Ja ich weiß nicht xDD

3x³-30x²+75x (3)


Probiers mal Augenzwinkern
 
 
BustHead Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Zur Übung mit der Polynomdivision:

f(x)=x³-5x²+5x-1 (1)
Finde die Nullstellen


Okay, die Aufgabe habe ich mal weggelassen, weil wir in der Klausur morgen die Nullstelle vorgegeben bekommen und ich nicht weiß wie man die sonst rausfindet... ^^


Zitat:
Hier mit Substitution:
x^4-13x²+36 (2)


Hier ist mein Ergebnis:
Lösungsmenge = {3; -3; 2; -2}


Zitat:
Und hier?! Ja ich weiß nicht xDD

3x³-30x²+75x (3)


Probiers mal Augenzwinkern


Hier habe ich x1,2 = 5 rausbekommen. Kann das sein? Denn es ist ja eine Funktion 3. Grades, deswegen müsste es ja eigentlich 3 Nullstellen geben?!
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

(2) ist richtig

(3) Seh ich aus drei Meilen Entfernung xDD



(1) Na gut..."Rausfinden" tust du eine Nullstelle wie oben von mir erklärt mit Raten Augenzwinkern
Ich hab sie so gewählt, dass eine Nullstelle 1 ist Augenzwinkern Dann Polynomdivision :P
Aber da kommt ein blödes Ergebnis dann raus, also... Augenzwinkern

Noch mehr hilfsbedarf?
BustHead Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
(2) ist richtig


Cool, danke! Augenzwinkern

Zitat:
(3) Seh ich aus drei Meilen Entfernung xDD


Das heißt? Hab ich einen Fehler oder ist es richtig? Big Laugh



Zitat:
(1) Na gut..."Rausfinden" tust du eine Nullstelle wie oben von mir erklärt mit Raten Augenzwinkern
Ich hab sie so gewählt, dass eine Nullstelle 1 ist Augenzwinkern Dann Polynomdivision :P
Aber da kommt ein blödes Ergebnis dann raus, also... Augenzwinkern

Noch mehr hilfsbedarf?


Okay, danke. Dann habe ich das auch mal gerechnet:

Lösungsmenge = {1; 4,24; -0,24}
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (3)

Weder noch Big Laugh Du bist noch nicht fertig^^
Wie bist du denn auf gekommen? Augenzwinkern
Vllt fällt dir da was auf Oo


(1)...das ist falsch?! Die 1 ist richtig Big Laugh Big Laugh
Aber wie gesagt...es sind krumme Zahlen :P
Ich suche besser nach einem anderen Beispiel, wenn
du das auch noch machen willst (Aus den Fingern saugen ist
dann halt net immer die beste Lösung!)
BustHead Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Zu (3)

Weder noch Big Laugh Du bist noch nicht fertig^^
Wie bist du denn auf gekommen? Augenzwinkern
Vllt fällt dir da was auf Oo


Mmmhh.... Ich habe ausgeklammert, dann das x vor der Klammer =0 gesetzt und die pq-Formel angewendet. Und weil die Wurzel Null ergibt, ist es ja nur 5... oder? :S


Zitat:
(1)...das ist falsch?! Die 1 ist richtig Big Laugh Big Laugh
Aber wie gesagt...es sind krumme Zahlen :P
Ich suche besser nach einem anderen Beispiel, wenn
du das auch noch machen willst (Aus den Fingern saugen ist
dann halt net immer die beste Lösung!)


Ah, habe meinen Fehler gefunden. So müsste es sein:

Lösungsmenge = {1; 3,73; 0,27}
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist es richtig! (was die (1)) angeht xD



Und soll ich jetzt anfangen zu lachen? Du hast die Lösung grade gesagt Big Laugh Big Laugh Big Laugh

Zitat:
Original von BustHead


Mmmhh.... Ich habe ausgeklammert, dann das x vor der Klammer =0 gesetzt und die pq-Formel angewendet. Und weil die Wurzel Null ergibt, ist es ja nur 5... oder? :S



Big Laugh Big Laugh
BustHead Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Jetzt ist es richtig! (was die (1)) angeht xD


Cool! ^^

Zitat:
Und soll ich jetzt anfangen zu lachen? Du hast die Lösung grade gesagt Big Laugh Big Laugh Big Laugh


Mmmhh.... Ich habe ausgeklammert, dann das x vor der Klammer =0 gesetzt und die pq-Formel angewendet. Und weil die Wurzel Null ergibt, ist es ja nur 5... oder? :S



Big Laugh Big Laugh


Hä? Bin ich gerade voll doof?! Ich weiß es nicht... Ist die Lösung dass es nur eine Nullstelle gibt?! :P
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Nein xD
Du darfst nochmals raten Augenzwinkern

Aber als kleine Hilfestellung (Tipp Nummer 1 von 2 xD)
Wenn ein Faktor 0 ist ist das ganze Produkt 0!


Tippnummer 2 kostet Prost
LOL Hammer
BustHead Auf diesen Beitrag antworten »

Häää? Ich glaub ich bin dumm^^
Wo multipliziere ich denn mit dem Faktor 0? Bei der pq-Formel ist es doch + bzw. - 0.
Bitte Tipp Nr. 2! Prost

Big Laugh
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Also Big Laugh

Tipp Nummer 2:
(3x²-30x+75)x


Reicht das schon? Big Laugh Big Laugh
BustHead Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Also Big Laugh

Tipp Nummer 2:
(3x²-30x+75)x


Reicht das schon? Big Laugh Big Laugh


Da habe ich das x vor der Klammer =0 gesetzt. Was das nicht richtig? Das muss man doch machen, damit man die richtige Form hat um das in die pq-Formel einzusetzen. Hast du doch vorhin gesagt:

Zitat:
Also entweder x=0 oder die Klammer ist 0 (zu lösen mit der pq-Formel)
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Und damit hast du die Lösung wieder gesagt xDDD

x1,2 = 5 und x3=0 Big Laugh

Setz es mal in die Ausgangsgleichung ein?!
3x³-30x²+75x

Und vllt fällt dir auf, warum mir das aus DREI Meilen Entfernung auffällt LOL Hammer Hammer

(Ich darf doch lachen oder? Big Laugh )
BustHead Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, bin ich doof! xD Danke, jez hab ich begriffen! Big Laugh
Klar darfste lachen, würde ich auch :P
Kennst du vielleicht noch eine Seite, wo man das Thema üben kann? Dann muss ich dich hier nicht so stressen! smile
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid, kenn mich da nicht so aus.
Aber gibs doch einfach bei Google ein?
Da findest du sicher was^^

Und stressen tust du mich sicher nicht Augenzwinkern
Geht doch ganz locker Big Laugh

Außerdem fördert es meine Lachmuskeln Big Laugh Big Laugh (Sry musste sein :lolhammersmile
BustHead Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Tut mir Leid, kenn mich da nicht so aus.
Aber gibs doch einfach bei Google ein?
Da findest du sicher was^^

Und stressen tust du mich sicher nicht Augenzwinkern
Geht doch ganz locker Big Laugh

Außerdem fördert es meine Lachmuskeln Big Laugh Big Laugh (Sry musste sein :lolhammersmile


xD Na dann bin ich ja beruhigt. Willst du mir vllt noch ein paar Funktionen geben? Dann kannste vielleicht noch mehr lachen Big Laugh
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem Augenzwinkern

Nummer 1:
4x^4+4x³-3x²

Nummer 2:
2x^4-8x²

Nummer 3:
x^2+x-12


Viel Spaß^^
BustHead Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Kein Problem Augenzwinkern

Nummer 1:
4x^4+4x³-3x²


Da weiß ich nicht weiter. Wenn ich ausklammer, dann ist es ja
x(4x³ + 4x² - 3x)
Das entspricht ja noch nicht der Form die man braucht, um es in die pq-Formel einzusetzen. Darf ich da einfach /-x machen? Dann würde es klappen!

Zitat:
Nummer 2:
2x^4-8x²


Lösungsmenge = {*plusminus**wurzel*2; *plusminus**wurzel*0)
?!

Zitat:
Nummer 3:
x^2+x-12


Lösungsmenge = {3; 4}
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt darf ich wieder lachen? xD
Wegen Nummer 1? Ist FAST das Gleiche wie vorher!
Warum willst du ein x...abziehen?

Überleg nochmals^^



Nummer 2:
+-0 ist schon mal richtig, aber hast du auch resubstiuiert?
Wohl eher nicht? Augenzwinkern

Nummer 3:
Fast richtig...aber noch falsch^^
Beachte -> Es ist eine Parabel...klingelts?^^
BustHead Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Jetzt darf ich wieder lachen? xD
Wegen Nummer 1? Ist FAST das Gleiche wie vorher!
Warum willst du ein x...abziehen?


Erklär mich für dumm aber ich komm (wieder) nicht drauf... unglücklich


Zitat:
Nummer 2:
+-0 ist schon mal richtig, aber hast du auch resubstiuiert?
Wohl eher nicht? Augenzwinkern


Doch, ich hatte als z1=4 und z2=0. Resubstituieren wäre ja einfach die Wurzel ziehen, einmal mit der positiven und einmal mit der negativen Zahl. Deswegen habe ich das einfach als Lösungsmenge hingeschrieben:

*plusminus**wurzel*4
*plusminus**wurzel*0

Zitat:
Nummer 3:
Fast richtig...aber noch falsch^^
Beachte -> Es ist eine Parabel...klingelts?^^


Oh, es ist -4 statt 4, richtig?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Also Nummer 3 kann als abgehakt bezeichnet werden! Augenzwinkern

Zur Nummer 2...
*plusminus**wurzel*4
*plusminus**wurzel*0
Goldrichtig...aber was ist denn bitte schön *plusminus**wurzel*4...mach mich nicht
schwach Big Laugh


Zur Nummer 1...
Tipp Nummer 1
Klammere nicht x aus sondern x² xD
BustHead Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Also Nummer 3 kann als abgehakt bezeichnet werden! Augenzwinkern

Zur Nummer 2...
*plusminus**wurzel*4
*plusminus**wurzel*0
Goldrichtig...aber was ist denn bitte schön *plusminus**wurzel*4...mach mich nicht
schwach Big Laugh


Naja, einmal die Wurzel aus -4 und einmal die Wurzel aus 4... oder? :S


Zitat:
Zur Nummer 1...
Tipp Nummer 1
Klammere nicht x aus sondern x² xD


Oh man, für sowas habe ich noch kein Auge... xD
okay, das Ergebnis ist:
Lösungsmenge = {1,5; -0,5}
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Nummer 1 i st das Minus genau falschrum xD
(Schau mal nach einem Vorzeichenfehler?)



Nein...
Das ist so "richtig" Schreib es doch aber mal einfacher xDDDD
Jetzt...ich lieg glei aufm Boden ROFL
BustHead Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Bei Nummer 1 i st das Minus genau falschrum xD
(Schau mal nach einem Vorzeichenfehler?)


Oh stimmt, hatte einen Vorzeichenfehler. Tanzen



Zitat:
Nein...
Das ist so "richtig" Schreib es doch aber mal einfacher xDDDD
Jetzt...ich lieg glei aufm Boden ROFL


Wie denn einfacher schreiben? Meinst du *plusminus* 4 ^ 1/4 ??? verwirrt
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Nein xD

Also...Wurzel 4 ist das gleiche wie 2 ROFL

und dementsprechend ist die Lösung
-2,0,2 Big Laugh

Mit dir hat man echt einen Lacher, sry xD
BustHead Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Nein xD

Also...Wurzel 4 ist das gleiche wie 2 ROFL

und dementsprechend ist die Lösung
-2,0,2 Big Laugh

Mit dir hat man echt einen Lacher, sry xD


Achso meinst du das xD
Ja, ich bin nicht so ein helles Köpfchen. Naja, vielen, vielen Dank, dass du mir hier so geholfen hast. Ich hoffe ich schaffe dass mit der Klausur morgen einigermaßen (und der Lehrer lacht hoffentlich nicht über meine Arbeit Big Laugh )... Muss jetzt auch in die Heier! smile
Danke nochmal!!!
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem!
Und..jeder übersieht mal sowas Augenzwinkern , aber wenn ich schon so direkt drauf hinweis Big Laugh

Naja, viel Glück dir!
Und Schlaf gut Wink
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