Unbest. Integral

14.04.2010, 17:24

Markus$

Unbest. Integral

Hallo,

das folgende Integral gilt es zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \int_e^\infty \! \frac 1 {x*(\ln{x})^4} \, dx \end{eqnarray*}$

ich komme aber auf etwas falsches. Ich habe erst die Stammfunktion gebildet:

$\begin{eqnarray*} F(x)=-\frac 1 3 \frac 1 {(\ln{x})^3} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt berechne:
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} -\frac 1 3 \frac 1 {(\ln{x})^3} + \frac 1 3 \end{eqnarray*}$

da komme ich ja auf 1/3. Das ist aber falsch wo ist der Fehler?

14.04.2010, 17:27

giles

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Nein, 1/3 ist korrekt.

14.04.2010, 18:02

Marku$

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hmm meine Lösung meint Divergent. Also wohl ein Druckfehler.

14.04.2010, 18:35

Marku$

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Bei dem Habe ich auch noch Probleme:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \ln(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0} \left[x\cdot \ln(x)-x\right]_{0+a}^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0}-1-(0+a)\cdot \ln(0+a)+0+a \end{eqnarray*}$

Da ist doch jetzt aber Null mal Unendlich drinne.

14.04.2010, 20:52

T0b1a5

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Zitat:

Original von Marku$
Bei dem Habe ich auch noch Probleme:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \ln(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0} \left[x\cdot \ln(x)-x\right]_{0+a}^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0}-1-(0+a)\cdot \ln(0+a)+0+a \end{eqnarray*}$

Da ist doch jetzt aber Null mal Unendlich drinne.

Das hast du alles richtig erkannt, aber sofern ich mich nicht irre, haben wir im ersten Semester bewiesen, dass der Logarithmus langsamer wächst als jedes Polynom, daher auch langsamer abnimmt, also darfst du hier behaupten, dass es gegen 0 geht. Oder brauchst du was formales?

14.04.2010, 20:57

Marku$

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Also die Lösung ist laut Buch -1. Das kann ja nciht schon wieder ein Druckfehler sein.

14.04.2010, 23:16

giles

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-1 ist diesmal richtig. Berechne doch einfach den Grenzwert (mit l'Hospital wenns sein muss) $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}x \ln x \end{eqnarray*}$ und sag nicht "0 mal Unendlich" und gut ist.

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