Näherungsformel De Moivre-Laplace

14.04.2010, 18:38

JonyMac2

Näherungsformel De Moivre-Laplace

Meine Frage:
Hallo
Also folgende Aufgabe:

Vor der Auslieferung an den wichtigsten Abnehmer werden einer Sendung 500 Schaltkreise entnommen und überprüft. 96% der Schaltkreise dieser Stichprobe sind fehlerfrei.
Berechen sie die Wahrscheinlichkeit, mit der mindestens 485 Schaltkreise der Stichprobe fehlerfrei sind.

Meine Ideen:
p=0,96 q=0,04 n=500 k=485 ?=4,3818 ?=480

P(x>=485)=?

Dann würde ich rechnen:

1-P(X<=484) mti dem GTR

Ergebnis: 0,9129

Dieses Ergebnis ist falsch, weil man angeblich bei Normalverteilung die Grenzen nicht ändert.

In diesem Fall müsste man dann ja rechnen:
1-P(X<=485)

Dies kann icht nicht nachvollziehen, weil man bei der Binominalverteilung die Grenzen ja auch verändert. Deswegen verwirrt micht das gerad alles.
Deswegen ist meine Frage, wann ich die Grenzen veänderer und wann nicht.
Danke

14.04.2010, 19:01

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Zitat:

Original von JonyMac2
96% der Schaltkreise dieser Stichprobe sind fehlerfrei.

Wenn du es so formulierst, dann sind genau (!) 96% * 500 = 480 Schaltkreise fehlerfrei und somit die Wahrscheinlichkeit für mindestens 485 fehlerfreie Schaltkreise gleich Null. Augenzwinkern

Vermutlich meinst du, dass 96% der Schaltkreise der gesamten Lieferung fehlerfrei sind.

Zur Rechnung: Von Merkregeln wie "Grenzen verändern ja oder nein" halte ich nicht viel, besser gesagt gar nichts. Leider hast du dich ja nicht im Detail geäußert, wie du die für die Binomialverteilung (wie X primär ja verteilt ist) zunächst richtige Rechnung $\begin{eqnarray*} 1-P(X\leq 484) \end{eqnarray*}$ dann in der Approximation berechnet hast, also z.B. ob mit oder ohne Stetigkeitskorrektur usw.

14.04.2010, 19:11

JonyMac

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Approximation? Stetigkeitskorrektur? Noch nie gehört.
Trotzdem Danke für die schnelle Antwort.

Ich habe mittlerweile herausgefunden, dass man bei Normalverteilung die Grenzen oft um 0,5 verändert.

Wäre dies bei dieser Aufgabe sinnvoll?
Wie würdet ihr die Aufgabe rechnen?

14.04.2010, 19:14

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Zitat:

Original von JonyMac
Ich habe mittlerweile herausgefunden, dass man bei Normalverteilung die Grenzen oft um 0,5 verändert.

Das ist es, was man Stetigkeitskorrektur nennt. Augenzwinkern

Im Detail:

Für $\begin{eqnarray*} X\sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ sowie dann in der Approximation $\begin{eqnarray*} \mu=np \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt{np(1-p)} \end{eqnarray*}$ lautet die üblicherweise verwendete Approximation für ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k) \approx \Phi\left( \frac{k+0.5-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$

bzw. in der anderen Richtung

$\begin{eqnarray*} P(X\geq k) = 1-P(X\leq k-1) \approx 1-\Phi\left( \frac{(k-1)+0.5-\mu}{\sigma} \right) = 1-\Phi\left( \frac{k-0.5-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$ .

14.04.2010, 19:19

JonyMac

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ok Danke

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