Differentialgleichung für Dummies

14.04.2010, 19:05

Opfer

Differentialgleichung für Dummies

Hallo, ich bin eine ziemlich ahnungslose Biologiestudentin auf der Jagd nach Verständnis für Mathe... Unser Prof ist unfähig in Dingen erklären und unsere Tutoren haben keine Zeit uns iwas zu erklären, weil die immer super viele verschiedene Sachen durchgehen und dann keine Zeit für Fragen bleibt.
Also 1. Was ist der Sinn von Differentialgleichungen?
2. Hätte ich hier eine Aufgabe die wieder meine komplette Aufnahmefähigkeit an ihre Grenzen bringt...

$\begin{eqnarray*} Y'(t)=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} Y(t)+\begin{pmatrix} 3t & -2 \\ -2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Zahlen in Klammern mit den Zahlen drunter sind Matrizen.

Wäre voll toll wenn mir jemand das klein schrittig erklären könnte. Falls keiner den Nerv dazu hat, wär voll toll wenn mir einer einfach das Ergebnis hiinschreibt, vll. komm ich dann ja durch ausprobieren selbst drauf...
Schonmal vielen vielen Dank!

14.04.2010, 19:48

Mazze

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Zitat:

1. Was ist der Sinn von Differentialgleichungen?

Differentialgleichungen beschreiben die Welt so wie sie ist. Aaaaaaaber... das ist Physik Augenzwinkern

. Zudem gibts da noch den Ansatz eines nicht kontinuierlichen Universums... aber ich schweife ab.

Differentialgleichungen sind zunächst mal auch nur eine Form von Gleichung. Die Lösungen dieser Gleichungen sind aber Funktionen. Im Gegensatz dazu sind die Lösungen von linearen Gleichungssystem Zahlen (oder Zahlenvektoren). Differentialgleichungen als solches sind ein sehr großer Teil der Mathematik und zudem einer der Anspruchsvollsten (wenn es zu den partiellen Differentialgleichungen geht).

Eine der bekanntesten dürfte die Differentialgleichung für die Beschleunigung sein, siehe etwa hier.

Was deine Differentialgleichung angeht :

Das ist ein lineares Differentialgleichungssystem, und somit das einfachste mögliche Differentialgleichungssystem. Aber Du solltest die Gleichung nochmal überprüfen. Der letzte Term ergibt keinen Sinn.

14.04.2010, 22:31

Opfer

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schon mal vielen dank Mazze. Aber was sagt mir denn das ergebnis? ich brauch was griffiges wie schnitt oder hoch und tiefpunkte, damit ich weiß wofür ich das mache, dann fällt mir verstehen auch meist leichter^^ was sagt mir denn das ergebnis über die rechnung?

zu der gleichung an sich:

$\begin{eqnarray*} Y'(t)= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} Y(t) + \begin{pmatrix} 3t-2 \\ -2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

macht es jetzt mehr sinn... ?so sieht es jetzt eins zu eins wie auf meinem zettel aus...

Vielen Dank!

15.04.2010, 01:16

gonnabphd

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Zitat:

Ach, die Biologen... Kein Verständnis für die Schönheit der reinen Mathematik. Tanzen

Ein Beispiel extra für dich:

Schau dir mal das Räuber Beute Modell an (dritter Abschnitt)

15.04.2010, 07:48

Mazze

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Zitat:

Aber was sagt mir denn das ergebnis?

Das kommt entschieden auf das Problem an. Am Beispiel der Bewegungsgleichung :

Wir suchen eine Gleichung, die den Ort zum Zeitpunkt t angibt , wenn wir einen Stein loslassen, und dieser zu Boden fällt. Wir suchen also eine Funktion mit bestimmten Eigenschaften.

Der Weg : $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ , wir wissen :

Die Geschwindigkeit ist gleich der ersten Ableitung des Weges nach der Zeit.
Die Beschleunigung ist gleich der zweiten Ableitung nach der Zeit.

Da wir den Stein fallen lassen ist die Beschleunigung konstant und gleich der Erdbeschleunigung (g = 9.81 m/s²). Daraus ergibt sich folgende Differentialgleichung :

$\begin{eqnarray*} x''(t) = g \end{eqnarray*}$

Die Lösung dieser Differentialgleichung liefert uns die Funktion x(t) mit der wir bestimmen können, wo sich der Stein nach t Zeitschritten befindet. Die Lösung ist übrigens :

$\begin{eqnarray*} x(t) = \frac{1}{2}gt^2 + v_0t + x_0 \end{eqnarray*}$

Wobei v_0 die Startgeschwindigkeit ist (der Stein könnte schon fallen) und x_0 der Anfangsort. Dies ist übrigens ein Spezialfall des Weg-Zeit-Gesetzes das Du aus der Schule eventuel noch kennst. Die Differentialgleichung ist übrigens stark idealisiert, man kann da wesentlich mehr rein stecken (nicht konstante Kraft, nicht konstante beschleunigung usw.).

Was wir durch die Lösung erhalten haben , ist eine Funktion die einen bestimmten Prozess beschreibt. In diesem Fall einfach das Fallen eines Steines. Eine Anwendung aus der Biologie hat gonnabphd schon gezeigt. Eine explizite Realisierung wäre etwa das Lotka-Voltera-Model. (Das ist aber recht schlecht für Neulinge da es sich nicht explizit lösen lässt, also nur Näherungsweise lösbar ist).

Was deine DGL angeht, jetzt steht sie richtig da. Hattet ihr noch gar nichts zum lösen dieser linearen DGL-Systeme?

15.04.2010, 11:00

Opfer

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Das ist die erste Aufgabe die wir berechnen sollen... wir haben nur diese allgemeinen Sachen wo man definiert hat und auf die Idee kam und so. da ja schon aufgefallen ist, dass ich für die Schönheit der höheren Mathematik nicht zu begeistern bin, kann ich, wenn ich selbst Gleichungen lösen will meistens mit diesen allgemein gültigen dingen meist nicht soooo viel anfangen... aber danke für die Beispiele die haben dem wenigstens ein bisschen sinn gegeben...

Zu meiner eigenen Bearbeitung ich würde mal behaupten, dass es eine inhomogene lineare Differentialgleichung ist. In meinem Skript hab ich jetzt die allgemeine Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} = -a\cdot y+ b(t) \end{eqnarray*}$

dann wäre ja auf meine Aufgabe bezogen die erste matrix a eine Konstante und die 2. Matrix b(t) eine stetige Funktion. Hieße das dann, dass ich mich in dem Themengebiet "Lineare inhomogene Differentialgleichungen und die
Variation der Konstanten" befinde? Oder hat das was mit Ordnung zu tun?
Ist die Aufgabe von mir echt so banal? Ich komm mir so hilflos vor.... ich weiß noch nicht mal was ich jetzt alles ersten schritt machen muss traurig

15.04.2010, 11:19

Mazze

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Die Aufgabe ist wirklich nicht so schwer wie sie aussieht. Aber als erstes, Du hast hier ein inhomogenes, lineares Differentialgleichungssystem. Was Du machen kannst ist folgendes. Löse das homogene Differentialgleichungssystem

$\begin{eqnarray*} Y'(t) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0\end{pmatrix}Y(t) \end{eqnarray*}$

und finde (zum Beispiel mit Variation der Konstanten) eine spezielle Lösung von

$\begin{eqnarray*} Y'(t) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0\end{pmatrix}Y(t) + \begin{pmatrix} 3t - 2 \\ -2t\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist die gesamt Lösung der DGL durch die Summe der beiden Teillösungen gegeben. Im übrigen sind

$\begin{eqnarray*} Y(t) = \begin{pmatrix} Y_1(t) \\ Y_2(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Y'(t) = \begin{pmatrix} Y_1'(t) \\ Y_2'(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vektorfunktionen. Das darfst Du nicht vergessen.

15.04.2010, 11:35

Opfer

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Also wären von $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Eigenwerte wenn ich mich nicht verrechnet habe x1=2 und x2= 0.5.
Eigenvektor wäre jeweils $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , aber das ist doch falsch oder?
als nächstes müsste ich dann die lösung der homogenen gleichung angeben... das geht doch so gar nicht... Ich bin echt ein Opfer... tut mir leid!

15.04.2010, 12:00

Mazze

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Der Weg über die Diagonalisierung ist eine Möglichkeit. Die Eigenwerte der Matrix sind aber 1 und 2. Das Du für den Eigenwert 2 aber (0,0) herausbekommen hast ist mir schleierhaft. Ohne deine Rechnung gesehen zu haben, kann ich da natürlich nichts zu sagen.

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