Integralrechnung

25.10.2006, 19:27	KiwiMandarini	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung Hallo! Wir sollen als Hausaufgabe den Flächeninhalt der Funktion f(t) = - 3/4t ausrechnen,die in einem Intervall von a= - 2 bis x verläuft. Unser Lehrer hat uns eine Skizze an die Tafel gemalt, bei der also links, im positiven y-Bereich, aber negativen x-Bereich ein kleines Dreieck zu sehen ist und im negativen y-Bereich , aber positiven x-Bereich ein Trapez. Das Trapez soll ich vom Dreieck abziehen. Wenn ich aber für das -3/4t das a= -2 einsetzte, kommt 1 1/2 raus, also habe ich den Punkt (-2/1 1/2). Wenn ich für das t 0 einsetze, kommt natürlich 0 raus. Deshalb verstehe ich nicht, warum unser Lehrer ein Dreieck und ein Trapez rausbekommen hat, weil eigentlich müssten so doch zwei Dreiecke entstehen, wo ich das rechts unten von dem links oben abziehen müsste. Könnt ihr mir sagen, ob ich da richtig liege? Vielleicht hat unser Lehrer ja nur eine grobe Skizze gemacht und war da nicht so genau.Für den Flächeninhalt ist es ja wichtig, ob ich ein Dreieck oder Trapez habe. Endschuldigt bitte, wenn ich das alles etwas unverständlich formuliert habe.Würde mich über Hilfe freuen! Danke
25.10.2006, 19:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung Also du hast mit $\begin{eqnarray} f(t)=-\frac{3}{4}t \end{eqnarray}$ eine lineare Funktion gegeben, die durch den Nullpunkt(0,0) verläuft. Die Integrationsgrenzen zeichnet man in der Skizze als parallelen zur y-Achse ein. Also, ja, es entstehen 2 Dreiecke. Anschaulich kannst Du dann argumentieren dass du den fFlächeninhalt des Dreiecsk im IV Quadraten (rechts unten) von dem aus dem II Quadraten (links oben) abziehen musst.
25.10.2006, 20:15	KiwiMandarini	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dann weiß ich schonmal bescheid, was ich überhaupt rechnen muss. Ich habe es mal so versucht: a²/2 - x²/2 = (-2)²/2- x²/2 = 2 - x²/2 Kann man das so lassen?
25.10.2006, 20:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe das mal formal auf. Für (x > 0) gilt: $\begin{eqnarray} \int_{-2}^{x}~-\frac{3}{4}t~dt=\int_{-2}^{0}~-\frac{3}{4}t~dt+\int_{0}^{x}~-\frac{3}{4}t~dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{-2}^{x}~-\frac{3}{4}t~dt=[-\frac{3}{8}t^2]^0_{-2}+[-\frac{3}{8}t^2]^x_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{-2}^{x}~-\frac{3}{4}t~dt=[0-(-\frac{3}{2})] + [-\frac{3}{8}x^2-0] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{-2}^{x}~-\frac{3}{4}t~dt=\frac{3}{2} - \frac{3}{8}x^2 \end{eqnarray}$ Nun mit den Dreiecken: (1) $\begin{eqnarray} g_1=2, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h_1=f(-2)=\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ Flächeninhalt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}g_1h_1=\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} g_2=x, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h_2=\|f(x)\|=\frac{3}{4}x \end{eqnarray}$ Flächeninhalt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}g_2h_2=\frac{1}{2}x\frac{3}{4}x=\frac{3}{8}x^2 \end{eqnarray}$
25.10.2006, 21:07	KiwiMandarini	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke , dass schau ich mir jetzt nochmal genaustens an.Ich finde es echt nett, dass du dir die Mühe gemacht hast.Vielen Dank!
25.10.2006, 21:09	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen.
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