Kombinatorisches Argument gesucht

14.04.2010, 20:33	ysanne	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorisches Argument gesucht Meine Frage: Hallo, ich grüble schon seit einigen Stunden darüber, wie man die folgende Gleichung durch ein kombinatorisches Argument begründen kann: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} = n \end{eqnarray}$ Daß es stimmt kann ich nachrechnen und auch über die rekursive Definition herleiten. Aber was heißt das praktisch auf gut Deutsch und wie kann ich das nur mit der Kombinatorik erklären? Meine Ideen: Mein Ansatz ging in die Richtung, das über die Gleichung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ herzuleiten. Also dann, dass ich eine echte Teilmenge in der Menge n bilde mit einem zusätzlichen Element. Und dass man die Anzahl der Möglichkeiten dieser Teilmenge dann nicht berücksichtigen darf, weil diese in n ja nur als ein-elementig gilt. Aber irgendwie fehlt mir da die plastische Vorstellung und das kommt mir selbst nicht logisch vor. Für Hilfe bin ich sehr dankbar!
14.04.2010, 20:48	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
"Plastisch" - vielleicht genügt geometrisch: Betrachte $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Punkte in der Ebene, in allgemeiner Lage (d.h. keine 3 auf einer Geraden). Wieviel Verbindungsstrecken gibt es, wenn du jeden Punkt mit jedem anderen verbinden willst? Richtig, $\begin{eqnarray} \binom{n}{2} \end{eqnarray}$ . Nun nimm noch einen $\begin{eqnarray} (n+1) \end{eqnarray}$ -ten Punkt hinzu...
15.04.2010, 09:35	ysanne	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, vielen Dank, das hat schon mal geholfen! Kann man das denn so als kombinatorisches Argument verstehen? Muss das nicht über Mengen und Teilmengen definiert werden bzw. wie könnte ich das über eine Stichprobenziehung definieren? Lieben Dank für Denkanstöße!
15.04.2010, 10:20	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst doch einfach Arthurs Beispiel auf Teilmengen übertragen. Betrachte zu einer n-Elementigen Menge $\begin{eqnarray} \{1, \dotsc, n\} \end{eqnarray}$ alle 2-elementigen Teilmengen. Nun füge zu der Menge noch das Element (n+1) hinzu.
15.04.2010, 14:48	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinatorisches Argument gesucht Ich weiss nicht, ob man mein folgendes Argument noch als "kombinatorisch" ansprechen kann, aber du kannst diese Gleichung auch förmlich "sehen", und zwar z.B. für n=7 so, dasss du dir die beiden Gaußschen Summen $\begin{eqnarray} 1+2+\ldots+7 = \binom {7+1}2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+2+\ldots+6 = \binom {6+1}2 \end{eqnarray}$ als rechtwinkelige Dreiecke visualisierst, nämlich o oo ooo oooo ooooo oooooo ooooooo bzw. o oo ooo oooo ooooo oooooo Nun zieh das untere Dreieck zeilenweise vom oberen ab (beginnend mit der 2.Zeile vom ersten Dreieck!) und was bleibt über? o -o --o ---o ----o -----o ------o

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