Fläche zwischen Funktionen halbieren

14.04.2010, 20:38

Heimeldeimel

Fläche zwischen Funktionen halbieren

Meine Frage:
Guten Abend,

ich verzweifle gerade an einer Aufgabe die ich nciht gelöst bekomme und frage nach eurem Rat.

Die FLäche die von der Kurve der Gleichung y=x^2 (x>0), der y-Achse und der Geraden mit der Gleichung y=b^2 begrenzt wird, soll durch eine Gerade halbiert werden, deren Gleichung gesucht ist.

Meine Ideen:
Die Fläche ist ja eingegrenzt von:
Links mit der y-Achse
von oben mit der Gerade y=b^2
und von unten/rechts von der Parabel y=x^2 wobei nur die positiven x relevant sind
----------
Die Fläche an sich ist doch $\begin{eqnarray*} \int_0^b \! x^2 \, dx \end{eqnarray*}$ weil ich ja das Integral von Null bis zum Schnittpunkt der beiden Funktionen haben will und der ergibt sich doch aus x^2= b^2 x=b oder?
------------

nein das wäre ja die Fläche, die unter der Fläche liegt die ich suche. Hilfe!?

14.04.2010, 20:56

Heimeldeimel

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oder ist $\begin{eqnarray*} \int_a^{b^2} \! \sqrt{y} \, dy \end{eqnarray*}$
weil das integral an der y-Achse gezogen wird und aus y=x^2 nach x umgestellt und das y eingesetzt wird. das ist auch etwas zu wild

15.04.2010, 14:28

Heimeldeimel

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RE: Fläche zwischen Funktionen halbieren
hat keine ne Idee?
vlt hab ich die Aufgabe auch so unverständlich hingeschrieben

15.04.2010, 15:17

klarsoweit

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RE: Fläche zwischen Funktionen halbieren

Zitat:

Original von Heimeldeimel
----------
Die Fläche an sich ist doch $\begin{eqnarray*} \int_0^b \! x^2 \, dx \end{eqnarray*}$ weil ich ja das Integral von Null bis zum Schnittpunkt der beiden Funktionen haben will und der ergibt sich doch aus x^2= b^2 x=b oder?
------------

nein das wäre ja die Fläche, die unter der Fläche liegt die ich suche. Hilfe!?

Genau. Du brauchst aber die Fläche, die oberhalb der Parabel liegt. Dafür läßt sich aber auch leicht eine Formel aufstellen.

Hochschulmathe? verwirrt

15.04.2010, 17:09

Heimeldeimel

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ok einen vernünftigen Ansatz habe ich jetzt glaube ich.
Die Fläche zwischen den beiden Funktionen ergibt sich aus
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! b^2 \, dx = b^3 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! x^2 \, dx = \frac{1}{3} b^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! b^2 \, dx - \int_0^b \! x^2 \, dx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = b^3-\frac{1}{3} b^3 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich noch eine Gerade finden, welche die Fläüche halbiert.

15.04.2010, 20:03

Heimeldeimel

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ich habe nochmal überlegt und befunden, dass ich das b^2 zur berechnung erstmal z nenne. also ist meine neue gerade y=z und die Parabel y=x^2
schnittpunkt ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{z} \end{eqnarray*}$ also muss ich, um die Fläche zwischen den beiden Funktionen zu bekommen folgendes tun:
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\sqrt{z} } \! x^2 - z\, dx \end{eqnarray*}$
da kommt dann $\begin{eqnarray*} \frac{-z^{\frac{3}{2} }}{3} \end{eqnarray*}$ raus

15.04.2010, 20:05

Heimeldeimel

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$\begin{eqnarray*} \frac{-2z^{\frac{3}{2} }}{3} \end{eqnarray*}$ meine ich
und wenn ich durch 2 teile, weil ich ja nur die halbe fläche brauche kommt dann

$\begin{eqnarray*} \frac{-z^{\frac{3}{2} }}{3} \end{eqnarray*}$ raus

16.04.2010, 09:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Heimeldeimel
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\sqrt{z} } \! x^2 - z\, dx \end{eqnarray*}$

Wenn du hier das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^{\sqrt{z} } \!(z - x^2) \, dx \end{eqnarray*}$ genommen hättest, dann wäre der Integrand positiv und du würdest auch einen positiven Integralwert bekommen. Insgesamt mußt du aber nochmal deinen Ansatz überprüfen. Richtig ist, daß die gesamte Fläche $\begin{eqnarray*} \frac 2 3 b^3 \end{eqnarray*}$ beträgt. Nun suchst du ein z, so daß die Gerade y = z diese Fläche halbiert. Es muß also gelten:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\sqrt{z} } \!(z - x^2) \, dx = \frac 1 3 b^3 \end{eqnarray*}$

Und nach wie vor die Frage, ob das Hochschulmathe ist?

17.04.2010, 15:19

mYthos

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Ist es sicher nicht, daher *** verschoben ***.
______________

Im Übrigen ist die Aufgabe noch leichter zu rechnen, wenn man den unter der Parabel liegenden Teil der Fläche betrachtet. Das Teilverhältnis, in welchem die Parabel die Rechtecksfläche teilt, bleibt nämlich immer gleich (1 : 2), somit gilt die Halbierungseigenschaft, welche die gesuchte Gerade erzeugen muss, auch für diese Fläche.

mY+

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