Vektorrechnen; Punkt bestimmen

14.04.2010, 21:02

Disraptor

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Vektorrechnen; Punkt bestimmen

Hallo zusammen,

ich habe folgendes problem ich stehe kurz vor einer Prüfung und kann folgende aufgabe einfach nicht lösen:

Gegeben:

A(2/-1/3) B(8/10/-3) D(8/0/-1)

g:x=(4/6/3) + lamda (-2/3/2)

ges: Punkt C auf der Geraden g, so dass ABCD ein gleichschenklige Trapez ist.

Mein erster gedanke war betrag von Vektor AC bestimmen und somit von BD zu bestimmen nur weiß ich nicht wie?!

Ich habe im gleichem Atemzug noch eine frage, die bereitsgelöst habe bin nur nicht sicher ob das so passt; zur gleichen aufgabe.

ges: eine Gleichung der Geraden g´ die parallel zu AB ist und durch D läuft.

meine Lösung:

(8/0/-1) + lamda1 (6/-9/-6) also aufpunkt D genommen und richtungs vektor von AB

Danke im Vorraus gruß Disraptor

14.04.2010, 21:33

riwe

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RE: Vektorrechnen; Punkt bestimmen

Zitat:

Original von Disraptor
Hallo zusammen,

ich habe folgendes problem ich stehe kurz vor einer Prüfung und kann folgende aufgabe einfach nicht lösen:

Gegeben:

A(2/-1/3) B(8/10/-3) D(8/0/-1)

g:x=(4/6/3) + lamda (-2/3/2)

ges: Punkt C auf der Geraden g, so dass ABCD ein gleichschenklige Trapez ist.

Mein erster gedanke war betrag von Vektor AC bestimmen und somit von BD zu bestimmen nur weiß ich nicht wie?!

Ich habe im gleichem Atemzug noch eine frage, die bereitsgelöst habe bin nur nicht sicher ob das so passt; zur gleichen aufgabe.

ges: eine Gleichung der Geraden g´ die parallel zu AB ist und durch D läuft.

meine Lösung:

(8/0/-1) + lamda1 (6/-9/-6) also aufpunkt D genommen und richtungs vektor von AB

Danke im Vorraus gruß Disraptor

kannst du die angaben überprüfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.04.2010, 21:35

Gualtiero

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RE: Vektorrechnen; Punkt bestimmen
Zur zweiten Aufgabe: Du hast Dich beim Richtungsvektor vertan; der soll ja gleich dem Vektor AB sein, und der ist (6 11 -6).

Bei der ersten Aufgabe ist mir etwas unklar. Die Gerade g schneidet die Ebene ABD genau im Punkt D. Daher kann auf ihr kein weiterer Punkt liegen, der für dieses Trapez in Frage käme.

Edit: Ah, riwe war schneller . . .

14.04.2010, 21:47

riwe

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RE: Vektorrechnen; Punkt bestimmen
meine vermutung ist: $\begin{eqnarray*} y_B = -10 \end{eqnarray*}$
daher meine obige bitte Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.04.2010, 21:52

Disraptor

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RE: Vektorrechnen; Punkt bestimmen
Upss total Fehler von mir, klar ihr habt recht die gerade g (4/6/3)+ lamda (-2/3/2) schneidet natürlich genau D.

eine teilaufgabe vorher heißt nämlich:

gesucht eine gleichung der geraden g die parallel ist zu AB und druch D läuft.

habe ich folgende aufgestellt:

g:x= (8/0/1) + lamda (6/-9/-6)

jene soll nun Punkt C bestimmen.

EDIT:

rewi du hast recht es muss natürlich -10 heißen! danke ;-)

14.04.2010, 22:13

Disraptor

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keiner eine Idee?

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14.04.2010, 22:29

riwe

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schneide die kugel mit radius r =|AD| um B mit deiner geraden.
warum man das tun darf, solltest du dir überlegen
(darum auch das y = -10 ).
achtung, du bekommst 2 lösungen.
die richtige ist C(10/-3/-3) Augenzwinkern

Augenzwinkern

die 2. lösung ist ein spezielles trapez, auch parallelogramm genannt.

14.04.2010, 22:29

Gualtiero

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RE: Vektorrechnen; Punkt bestimmen
Mein Beitrag ist dann natürlich hinfällig, die Gerade g' ist richtig.

Aber wir wissen jetzt ja schon einiges: der Richtungsvektor von g' ist kollinear mit Vektor AB und geht durch Punkt D, das bedeutet, g' liegt in der Ebene, die das Trapez aufspannt.

Hast Du die Idee: Betrag AD = Betrag BC weiter verfolgt.

14.04.2010, 22:32

riwe

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RE: Vektorrechnen; Punkt bestimmen

Zitat:

Original von Disraptor

EDIT:

rewi du hast recht es muss natürlich -10 heißen! danke ;-)

rIwe bitteschön, nicht rewi, riwi und leider auch nicht rewe Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.04.2010, 22:40

Disraptor

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Ich glaube ich kann es nachvollziehen, ich lege um B den Radius von Betrag AD mit diesem Betrag gibt es auf der geraden 2 schnittpunkte einmal über und einmal unterhalb. ich weiß nur noch niciht wie ich das rechnen soll?!

ich meine wie setzte ich das den ein/ an?

14.04.2010, 22:58

riwe

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wie wohl

unglücklich

kugelgleichung aufstellen:

$\begin{eqnarray*} (\vec{x}-\vec{b})^2=|AD|^2 \end{eqnarray*}$

geht es jetzt verwirrt

verwirrt

14.04.2010, 23:00

Disraptor

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nein, tut mir leid, aber diese gleichung kenne ich nicht deshalb auch meine schwierigkeiten.

Gibt es keinen anderen Weg?

14.04.2010, 23:04

Disraptor

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neue Idee;

wenn ich den winkel zwischen Vektor AB und AD herausfinden könnte ich die gleichung so umstellen das ich den selben winkel für Vektor BC und BA erhalte.

somit hätte ich die gleichung der Geraden BC und könnte einfach BC mit der parallen von AB (in den punkt D verschoben) kreuzen lassen. jener schnittpunkt wäre dann C

14.04.2010, 23:16

riwe

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Zitat:

Original von Disraptor
nein, tut mir leid, aber diese gleichung kenne ich nicht deshalb auch meine schwierigkeiten.

Gibt es keinen anderen Weg?

ausgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} (x-8)^2+(y+10)^2+(z+3)^2 = 53\wedge x= 4-2\lambda ... \end{eqnarray*}$

14.04.2010, 23:25

Disraptor

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tut mir leid ich kann deinen weg ohne erklärung leider nicht nachvollziehen

14.04.2010, 23:30

Gualtiero

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Ich möchte nicht weiter unterbrechen, sondern nur kurz einschieben, dass die Idee mit dem Betrag auch relativ einfach ist. Gehe dann nämlich OFF.

- Zuerst Betrag von Vektor AD bestimmen.
- Dann drücke ich Punkt C mithilfe von Punkt D und dem Richtungsvektor von g' aus. Sei $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ der Ortvektor von Punkt C, dann kann ich sagen:

$\begin{eqnarray*} \vec{c}=\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8-2\lambda \\ 3 \lambda \\ -1+2\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

- Vektor CB bilden und davon den Betrag.
- Betrag AD = Betrag CB --> ergibt eine quadratische Gleichung für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Welche Lösung gilt, ergibt sich daraus, dass ich die kürzere Entferung DC benötige, die längere ergäbe ja kein Trapez.

Jedenfalls gutes Gelingen.

15.04.2010, 00:01

riwe

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du sollst einfach in die kugelgleichung für x, y und z aus der geradengleichung EINSETZEN, also

$\begin{eqnarray*} (4+2\lambda-8)^2+(6+3\lambda+19)^2+(3+2\lambda+3)^2=53 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda^2+8\lambda+15=0 \end{eqnarray*}$

sonst verwende halt den weg von G., das läuft genau auf dasselbe hinaus, allerdings mit

$\begin{eqnarray*} \lambda^2_G+4\lambda_G+3=0 \end{eqnarray*}$

nebenbei kann man das problem auch ohne quadratische variante lösen, was allerdings weit umständlicher ist.

15.04.2010, 11:04

riwe

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Zitat:

Original von Gualtiero
Ich möchte nicht weiter unterbrechen, sondern nur kurz einschieben, dass die Idee mit dem Betrag auch relativ einfach ist. Gehe dann nämlich OFF.

- Zuerst Betrag von Vektor AD bestimmen.
- Dann drücke ich Punkt C mithilfe von Punkt D und dem Richtungsvektor von g' aus. Sei $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ der Ortvektor von Punkt C, dann kann ich sagen:

$\begin{eqnarray*} \vec{c}=\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8-2\lambda \\ 3 \lambda \\ -1+2\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

- Vektor CB bilden und davon den Betrag.
- Betrag AD = Betrag CB --> ergibt eine quadratische Gleichung für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Welche Lösung gilt, ergibt sich daraus, dass ich die kürzere Entferung DC benötige, die längere ergäbe ja kein Trapez.

Jedenfalls gutes Gelingen.

dazu seien mir 2 anmerkungen erlaubt:

1) "distanz/betrags-formel = kugelgleichung"

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\vec{c}-\vec{b})^2}=|AD|\Leftrightarrow (\vec{c}-\vec{b})^2=|AD|^2 \end{eqnarray*}$
natürlich ist es nicht notwendig, mit D einen anderen aufpunkt der geraden g zu wählen

aber wenn disraptor die kugelgleichung nicht kennt, ist der weg über die abstandsformel sicher einfacher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

2) diese bestimmung des punktes C führt zwar hier zum richtigen ergebnis, ist aber allgemein nicht richtig.
korrekt ist vielmehr:

wähle den punkt $\begin{eqnarray*} C_i\quad{ } i=1,2 \end{eqnarray*}$ , für den gilt $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{DC}_i\neq\overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$
mit dem angenehmen nebeneffekt, sich die berechnung des betrages ersparen zu können.

wie oben angeführt ergibt der andere punkt das "zugehörige" parallelogramm als spezialfall eines trapezes.

15.04.2010, 20:54

Gualtiero

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Zitat:

Original von riwe
natürlich ist es nicht notwendig, mit D einen anderen aufpunkt der geraden g zu wählen

Punkt D habe ich deshalb als Stützvektor gewählt, weil dann die Lösungen für den Parameter entweder beide nur positiv oder beide nur negativ sein können. Dann ist bei der Auswahl zu beachten:
Parameter > 0: die kleinere Lösung gilt
Parameter < 0: die größere gilt

Mein Vorschlag ist nur einer von mehreren, die in Frage kommen, wenn Disraptor die Kugelrechnung mit Vektoren im Unterricht noch nicht hatte.

@Disraptor
Lass Dich aber nicht abhalten, hier weiterhin Fragen zu stellen.

15.04.2010, 23:54

riwe

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naja, da scheint mir das von mir zitierte kriterium doch wesentlich einfacher unglücklich

unglücklich

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