surjektive Abbildungen - Beweise |
| 25.10.2006, 20:14 | _Increadable_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| surjektive Abbildungen - Beweise vielleicht kann mir jemand bei meinem Problem lösen. Wir haben momentan das Thema der surjektivität, injektivität und Bijektivität. Die drei Sachen versteh ich auch eigentlich und viele Aufgaben konnte ich schon lösen, doch jetzt hab ich hier zwei BEweise, wo ich nicht mal den Ansatz einer Idee hab (bzw nicht glaube, dass er richtig ist...) also: 1.) Sei f: X --> Y eine Abbildung. Beweisen Sie f ist surjektiv <==> Es gibt ein h : Y --> X mit f o h = id(y) Da versteh ich nicht mal was es mir sagen soll und das mit der Identität hab ich auch bei Wikipedia nicht verstanden... Vielleicht kann mir da wer weiterhelfen.. 2.) Seien X und Y endliche MEngen mit |X| = |Y| und f : X --> Y eine Abbildung. Beweisen Sie: f ist injektiv <==> f ist surjektiv <==> f ist bijektiv Welche dieser Implikationen verlieren ihre Gültigkeit, wenn X und Y unendliche Mengen sind? BEgründen sie Ihre Antwort durch die ANgabe von Gegenbeispielen. Zum Zweiten hatte ich mir zuerst überlegt, dass wenn |X| = |Y| ist ja X auf X abgebildet wird und dann wäre die Abbildung injektiv, sujektiv und somit auch bijektiv, aber das ist zu leicht und hat ja nichts mit der endlichkeit oder Unendlichkeit zu tun, also wenn mir da wer helfen könnte... Ich möchte diese Aufgaben gerne verstehen... +sfz+ |
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| 25.10.2006, 21:06 | n! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu 1) Der Satz sagt: Wenn f surjektiv ist, dann gibt es eine Abbildung h, die verkettet mit f die identische Abbildung ergibt. Die Umkehrung gilt eben auch und deshalb musst du beide Richtungen beweisen. Mache dir diesen Satz doch mal an einem Zahlenbeispiel klar. Zum Beweis. Da h von Y --> X gehen soll, musst du erstmal zeigen, dass es so eine Abbildung gibt. Wann gibt es die nämlich? |
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| 25.10.2006, 21:07 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: sujektive Abbildungen - Beweise
Zunächst muss es in der Aufgabenstellung heißen. id ist die Abkürzung für Identität, und definiert ist diese Abbildung so: Zeigen sollst du eine Äquivalenz. Das machst du, indem du beide Richtungen (Implikationen) zeigst. Grüße Abakus 
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| 25.10.2006, 21:10 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: surjektive Abbildungen - Beweise
das muss nicht sein... stell dir mal vor |X| = {0,1} und f(x) = 1 - x. Dann wird nicht x auf x abgebildet, aber die Abbildung ist trotzdem bijektiv. |
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| 25.10.2006, 21:21 | _Increadable_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da h: Y --> X genau die Umkehrabbildung zu f ist muss h also f hoch -1 sein. Das würde aber bedeuten, dass f o h (also f hoch -1) = id(y) ist und f hoch -1 o f = id(x) oder? Also sowas haben wir in den Vorlesungen gehabt... Wenn f o h = id(y) ist, dann ist f injektiv und wenn h o f = id(x), dann ist f surjektiv...oder so... Also so ganz hab ichs noch nicht... @ Sunwater Wie jetzt? Also wenn |X| = {0,1} ist, wieso ist das wenn es auf f(x) = 1-x abgebildet wird bijektiv? Wie muss ich die Abbildung denn verstehen? |
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| 25.10.2006, 21:40 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was verstehst du denn unter einer Umkehrabbildung ? Jedenfalls folgt es nicht, dass f die Umkehrabbildung ist (überlege dir ein Beispiel). Grüße Abakus
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| 26.10.2006, 06:02 | _Increadable_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich glaub ich geb auf...keine ahnung, ich dachte wenn f von X nach Y abgebildet wird, so wird die Umkehrung von Y nach X abgebildet.... aber wenn der Ansatz schon falsch ist überleg ich nochmal ganz von vorne. |
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| 26.10.2006, 13:46 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst dir die Verhältnisse anhand klarmachen. Die Wurzelfunktion wäre hier ein Beispiel für eine Funktion h, aber die kehrt f nicht auf dem ganzen Definitionsbereich um. Grüße Abakus
EDIT: Latex |
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| 27.10.2006, 19:20 | _Increadable_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also beim ersten hängt es immer noch, aber ich glaube ich habe jetzt was zur zweiten aufgabe, und wollte es mal hier reinstellen, erstens um zu Fragen ob es stimmt und wenn es stimmr, damit es andere dann auch nachvollziehen können. Also, wenn ich beweisen will, dass die Aussage gilt, muss ich nur beweisen, dass f injektiv und surjektiv ist, denn das bijektiv ist von der definition aus ja schon wahr. wenn f injektiv ist ==> |f(X)|=|X|=|Y| (das gilt nach Vor., steht ja so in der Aufgabe) und f(x) ist Teilmenge oder gleich Y => f(x)=Y => f ist surjektiv der rückseitige Beweis wäre demnach: wenn f surjektiv ist => f(x)=Y => |f(X)| = |Y| =|X| (das gilt wieder laut Aufgabe) => f ist injektiv Und wenn X, Y unendlich wären, wäre_ f injektiv, aber f muss nicht surketiv sein, oder f wäre surjektiv und müsste nicht injektiv sein. Dies kann man an einem Gegenbeispiel zeigen. Man bildet N -> N ab mit der Funktion x -> 2x (die Funktion wäre zwar injektiv aber nicht surjektiv) Man bildet Z -> N (0) ab mit der Funktion x -> |x| (die Funktion ist zwar surjektiv aber nicht injektiv!) |
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| 27.10.2006, 19:38 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist im Prinzip ok. Die Bijektivität folgt aber nicht laut Definition, sondern das würde ich per Zirkelschluss einbeziehen. Bei den Gegenbeispielen (alle richtig) würde ich konkret angeben, wieso deine Beispiele nicht surjektiv bzw. injektiv sind. Grüße Abakus
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| 27.10.2006, 23:29 | _Increadable_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
cool, danke schön, dann werd ich das jetzt noch etwas erweitern, dann hab ich die Aufgabe verstanden, danke! |
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| 14.11.2009, 17:36 | _justahint_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Aufgabenstellung Aloha-he zusammen, der Post ist nun schon einige Jahre alt, taucht allerdings bei Google unter dem Stichwort "surjektiv umkehrabbildung" immer noch mit als erstes auf; insofern möchte ich hier für alle Verwirrten (auf der Suche nach Lösung, so geht es mir) eines korrigieren in der obigen Fragestellung 1): f: M -> N f ist surjektiv <==> Es existiert ein g mit g: N -> M, so dass (f o g) = id(M) Diese Aussage ist grundsätzlich falsch. Beispiel: Sei f: M -> N mit M = {1, 2, 3, 4} und N = {a,b,c}, sowie f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c f(4) = c. f ist offensichtlich surjektiv (ganz N wird "angesprochen") Ich finde kein g: N->M so dass (f o g)(x) = x mit x in M. Es muss nämlich mindestens sein: g(a) = 1, g(b) = 2, g(c) = 3 UND g(c) = 4. Dies ist dann aber keine Abbildung mehr. Salop gesprochen: In M ist immer ein Punkt zuviel, wenn ich von N->M gehe. ------------------- Die Aufgabenstellung lautet eher: f: M->N f ist injektiv <==> Es existiert ein g mit g: N->M, so dass (f o g) = id(M) -------------------------- Ich hoffe ich einige nun vielleicht _noch mehr_ verwirrte ein wenig entwirren. Liebe Grüße aus der Tiefe des Internets, _justahint_ |
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| 14.11.2009, 21:44 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Aufgabenstellung
Das ist natürlich blanker Unsinn, ob absichtlich oder unabsichtlich läßt sich schwer sagen... 
Tatsache ist dass die Abbildung g:N -> M mit g(a) = 1, g(b) = 2, g(c) = 3 die Bedingung f o g = id(N) klar erfüllt... Edit: Mit id(M) statt id(N), wie oben angegeben, ergibt Behauptung allerdings keinen Sinn!... |
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| 14.11.2009, 22:23 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Aufgabenstellung
Aber: |
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