A = aI_{n} beweisen

15.04.2010, 13:38

Ah3n0bar6us

A = aI_{n} beweisen

Sei ein Körper und sei ein $\begin{eqnarray*} A \in M_{nn}(K ) \end{eqnarray*}$ eine Matrix, sodass AB = BA für alle $\begin{eqnarray*} B \in M_{nn}(K ) \end{eqnarray*}$ gilt. Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} A = a I_{n} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} a \in K \end{eqnarray*}$ ist.

Klingt so einfach. Ist es für mich leider nicht. Ich verstehe nicht, wie ich etwas beweisen soll, das nicht einmal gegeben ist. Es gibt weder eine Formel, noch Werte für etwas. denn schliesslich könnte $\begin{eqnarray*} M_{nn} \end{eqnarray*}$ ja von 1 bis unendlich sein, oder nicht.
Ich habe ja die Einheitsmatrix I. (Eigentlich ja auch erst, wenn ich weiss, was es für eine Matrix sein soll). Der Skalarwert a ist auch nicht gegeben.

Soll ich mir jetzt bei der Aufgabe zwei Matrizen ausdenken, die die gleiche Anzahl an Spalten und Zeilen haben? Oder wie gehe ich an die ganze Sacha heran?

LG

15.04.2010, 13:51

IfindU

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RE: A = aI_{n} beweisen
Das soll für alle n und alle B der gegebenen Form gelten. Du sollst allgemein zeigen, dass es in diesem Fall nur kommutativ ist, falls A ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist. Welches Vielfache ist egal, aufgrund der Kommutativität der Skalare und dem Neutralen Element der Form I.
Ohne die Antwort zu wissen würde ich die Definition der Matrizenmultiplikation nehmen und gucken ob man da was rumrechnen kann.

15.04.2010, 13:52

Mazze

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Es gilt AB = BA für alle B. Insbesondere gilt es also auch für spezielle B. K ist ein Körper, wir haben also ein multiplikatives 1-Element. Betrachte nun Beispielsweise die Matrix

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann gilt nach Voraussetzung AB = BA, rechnet man das mal aus erhält man

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & 0 \\ a_{21} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir erhalten : $\begin{eqnarray*} a_{12} = 0,a_{21} = 0 \end{eqnarray*}$ . Wir wissen also schon das A eine Diagonalmatrix ist. Die wahl weiterer spezieller Matrizen grenzt das Ganze noch weiter ein. Das kann man natürlich auf beliebige, n-dimensionale Matrizen erweitern.

15.04.2010, 14:18

Ah3n0bar6us

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Also ich habe das ganze jetzt 5 Mal gelesen und ich weiss.. das ich nichts weiss. ich glaube ich habe für heute schon zu viel mit Matrizen zu tun gehabt traurig

Ich habe verstanden, dass es eine Herleitung, quasi eine Art vollständige Induktion sein sein. Weiterhin kann man Körper festlegen, die zeigen, dass A eine Diagonalmatrix ist. Also I. Aber was hat das genau mit dem Skalar zu tun? Wie kann ich ansetzen, damit ich AB -> A = aI ist?

15.04.2010, 14:24

Mazze

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Wie schon gesagt, Du musst Du nur eine spezielle Matrix B suchen so dass $\begin{eqnarray*} a_{11} = a_{22} \end{eqnarray*}$ direkt ablesbar ist. Für den 2x2 Fall :

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach Voraussetzung ist wieder AB = BA , ausgerechnet :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{12 } & a_{11} \\ a_{22} & a_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{21 } & a_{22} \\ a_{11} & a_{12} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und schon steht da $\begin{eqnarray*} a_{11} = a_{22} \end{eqnarray*}$ , daraus folgt sofort $\begin{eqnarray*} A = aI_2 \end{eqnarray*}$ . Ich hab dir die Aufgabe also quasi für den Fall n = 2 schon gelößt. Deine AUfgabe ist es, das jetzt auf den Fall n zu erweitern.

15.04.2010, 17:04

Ah3n0bar6us

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Hey super, jetzt scheints klick gemacht zu haben =)
für undendliche Elemente müsste es ja dann folgt sein.

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1k} & ... & a_{1n} \\ ... & & ... & & ... \\ a_{i1} & ... & a_{ik} & ...& a_{in} \\ ... & & ... & & ... \\a_{m1} & ... & a_{mk} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} \in M_{mn}(K) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} b_{11} & ... & b_{1k} & ... & b_{1s} \\ ... & & ... & & ... \\ b_{i1} & ... & b_{ik} & ...& b_{is} \\ ... & & ... & & ... \\b_{n1} & ... & b_{nk} & ... & b_{ns} \end{pmatrix} \in M_{ns}(K) \end{eqnarray*}$

Und das Multipliziere ich:

$\begin{eqnarray*} AB \left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{jk} \right) _{1\leq i\leq m, 1\leq k\leq s} = \begin{pmatrix} \sum\limits_{j=1}^n a_{1j}b_{j1} & \sum\limits_{j=1}^n a_{1j}b_{j2} & ... & \sum\limits_{j=1}^n a_{1j}b_{js} \\ ... & ... & ... & ... \\ \sum\limits_{j=1}^n a_{2j}b_{j1} & \sum\limits_{j=1}^n a_{2j}b_{j2} & ... & \sum\limits_{j=1}^n a_{2j}b_{js} \\ ... & ... & ... & ... \\\sum\limits_{j=1}^n a_{mj}b_{j1} & \sum\limits_{j=1}^n a_{mj}b_{j2} & ... & \sum\limits_{j=1}^n a_{mj}b_{js} \end{pmatrix} \in M_{ms}(K) \end{eqnarray*}$

Und daraus kann ich sehen, dass A = aI_n ist?

lg

15.04.2010, 17:16

Mazze

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Zitat:

für undendliche Elemente

Es gibt nicht unendliche Elemente, jede Matrix hat endlich viele Einträge.

Zitat:

Und daraus kann ich sehen, dass A = aI_n ist?

Nein kannst Du nicht. Du hast nur 2 allgemeine Matrizen hingeschrieben. Zudem müssen B und A die gleiche Dimension haben.

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A = aI_{n} beweisen

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