Taylorentwicklung herleiten

15.04.2010, 14:09

Arde

Taylorentwicklung herleiten

Meine Frage:
Hallo,
ich versteh die Taylerentwicklung überhaupt nicht. Es wäre hilfreich, wenn mir jemand überhaupt die allgemeine herleitung der Taylorentwicklung erklären könnte.
Wie leitet man die Taylorentwicklung allgemein für eine Funktion f her?

Meine Ideen:
Ich hab schon verstanden, dass ich von einer Funktion ein Polynom bilden muss. Aber wie ich das genau herleite, weiß ich leider nicht.

15.04.2010, 14:19

Felix

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Was genau meinst du mit Herleiten?

Willst du einen formalen Beweis sehen, dass

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=0}^n \frac{(x-y)^k}{k!}f^{(k)}(y) + \frac {(x-y)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}( u) \end{eqnarray*}$

für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: I \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ (I ist ein Intervall mit Randpunkten a,b) die n - mal stetig differnezierbar ist, so dass die n -te ableitung auf (a,b) differenzierbar ist, $\begin{eqnarray*} x,y \in I \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} u \in (min(x,y), max(x,y)) \end{eqnarray*}$

gilt?

15.04.2010, 14:29

Arde

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Ja genau.
Wie sieht eine ganz normale Taylorentwicklung an einer allgemeinen Funktion überhaupt aus?

15.04.2010, 14:48

Felix

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Zitat:

Original von Arde
Wie sieht eine ganz normale Taylorentwicklung an einer allgemeinen Funktion überhaupt aus?

Eine allgemeine Funktion muss keine "Taylorentwicklung" haben! Darum ja auch die Voraussetztungen für die Funktion f im letzten Post.
Mir ist auch nicht ganz klar was du eigentlich mit "Taylorentwicklung" meinst. Willst du das n-te Taylorpolynom einer Funktion berechnen? Oder willst du vielleicht eine beliebig oft stetig differenzierebare Funktion als Taylorreihe entwickeln (was auch nur dann möglich ist wenn das Restglied gegen 0 geht)

Du musst mir ein bisschen genauer sagen worum es dir geht!

Den formalen Beweis für die von mir angegebene Darstellung solltest du im Internet finden. Ich weiß allerdings nicht wieviel Vorwissen du hast. So ohne weiteres wirst du das nicht verstehen.

lg

15.04.2010, 15:04

Arde

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ich besitze das Schulwissen der 11 Klasse. Es ist so:
ich muss eine präsentation über die Taylorentwicklung halten. Es ist eine Arbeitsersatzleistung. Jedoch hatten wir das noch gar nicht im Unterricht. Ich habe vom Lehrer nur ein Zettel bekommen, wo ganz knapp drauf steht was das eigentlich ist und 3 Aufgaben die ich vorstellen soll. Ich hab aber überhaupt keine Ahnung von dem Thema (wie denn auch wenn ich das noch nicht im Unterricht hatte?). Nun versuch ich das ein wenig zu verstehen, worum es dabei eigentlich geht und wie ich das anwende.
Deswegen sorry wenn ich das so ungenau beschreibe, aber ich hab einfach keine Ahnung vom Thema.
Ich soll in der Präsentation einmal zeigen wie ich es allgemein herleite, dann soll ich die Taylorentwicklung anhand der Funktion F(x) = (sin(x)) um die stelle x=0 bestimmen und noch skizzieren, wie man mit der Taylorentwicklung die Beziehung (sin(x))' = cos(x) herleiten kann.

Wie gesagt ich hatte das Thema noch nicht. Deshalb wollte ich erstmal einen Einblick in das Thema bekommen.

15.04.2010, 15:05

Airblader

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Mit "Herleiten" wird dann vermutlich eine anschauliche Erklärung des Ganzen gemeint sein. Diese Frage kann dir im Zweifel aber nur die Lehrkraft 100%-ig beantworten.

air

15.04.2010, 22:05

Mathewolf

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Bei der Taylor-Reihe handelt es sich um eine approximative Darstellung einer Funktion durch eine Polynomfunktion. Idealerweise ist die zu entwickelnde Funktion glatt. D.h., sie ist beliebig oft differenzierbar. Aber es klappt auch bei nicht so idealen Funktionen (n-fach diff'bare Funktionen). Dies macjht keinen großen Unterschied, da man in der Praxis mit der Reihenentwicklung eh nach wenigen Gliedern abbricht.

Meine Vorredner haben ja schon einiges über die Taylor-Reihe erzählt. Da du gerade mal in der 11. Jahrgangsstufe bist, denke ich, dass wir die Restglied-Abschätzung mal bei Seite lassen können.

Wir betrachten im folgenden nur Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Dann gehen wir mal ganz profan an die Sache heran. Die Idee ist, eine n-fach differenzierbare Funktion f lässt sich durch ein Polynom im Interval $\begin{eqnarray*} [a,b]\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ um den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} \xi\in]a,b[ \end{eqnarray*}$ approximativ darstellen:

$\begin{eqnarray*} f(x)\approx T_f(x) \end{eqnarray*}$

Welche Gestalt hat nun so ein Polynom (oder genauer Polynomfunktion)?

$\begin{eqnarray*} T_f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k \end{eqnarray*}$

Der Graf des Polynoms lässt sich beliebig auf der Abszisse durch Einfügen des Parameters $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ verschieben. Das heißt unser Polynom erhält folgende Form

$\begin{eqnarray*} T_f(x)=\sum_{k=0}^na_k(x-\xi)^k \end{eqnarray*}$

Da jedes Polynom eindeutig durch seine Parameter $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ definiert ist, gilt es jetzt diese zu bestimmen.

Falls nun $\begin{eqnarray*} f=T_f \end{eqnarray*}$ gilt, sind auch ihre Ableitungen identisch. Und wir können so die Parameter der Polynomfunktion bestimmen.

es gilt nämlich einerseits

$\begin{eqnarray*} k!a_k=\frac{d^kT_f(\xi)}{dx^k} \end{eqnarray*}$

Andererseits gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{d^kT_f(\xi)}{dx^k}=\frac{d^kf(\xi)}{dx^k}:=f^{(k)}(\xi) \end{eqnarray*}$

Daher gilt

$\begin{eqnarray*} k!a_k=\frac{d^kf(\xi)}{dx^k}\ \Leftrightarrow\ a_k=\frac{f^{(k)}(\xi)}{k!} \end{eqnarray*}$

In $\begin{eqnarray*} T_f(x) \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt das

$\begin{eqnarray*} T_f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(\xi)}{k!}(x-\xi)^k \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, ich konnte dir damit ein wenig helfen.

16.04.2010, 14:05

Arde

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Vielen Dank!
Ich denke das Grundprinzip hab ich jetzt verstanden :-D

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