Produkttopologie kompakter Räume

15.04.2010, 14:11	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkttopologie kompakter Räume Hey, ich hab eine Aufgabe an der ich sitze und würde mich freuen, wenn mir jemand dabei helfen könnte: Seien $\begin{eqnarray} (M_n, d_n), n\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ metrische Räume und $\begin{eqnarray} M:=\prod_{n=1}^\infty M_n \end{eqnarray}$ das kartesiche Produkt der Form $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2,...,x_n,...), x_n\in M_n \end{eqnarray}$ . Zeige, dass aus der Kompaktheit aller Räume $\begin{eqnarray} M_n, n\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ die Kompaktheit von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ folgt. Meine Ansätze: Ich weiß, dass ein Kompakter Raum endlich teilüberdeckt werden kann. Allerdings ist Kompaktheit eine forward-Eigenschaft (Ist X kompakt und f:X->Y stetig, so ist f(X) in Y kompakt) Kann ich damit etwas anfangen oder muss ich das anders angehen? Seren
15.04.2010, 18:34	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ersteinmal können wir festhalten, dass M wieder ein metrisierbarer Raum ist. Eine Metrik wird z.B. durch $\begin{eqnarray} D((x_n), (y_n)) := \sum_{k=1}^\infty \frac{ \overline{d_i}(x_i,y_i)}{2^i}, \quad wobei \quad \overline{d_i}(x_i,y_i) := \frac{d_i(x_i,y_i)}{1 + d_i(x_i,y_i)} \end{eqnarray}$ gegeben. Deshalb reicht es, zu zeigen, dass jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Sei also $\begin{eqnarray} ((x_n)^{(m)})_{m \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ eine beliebige Folge in $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ , du musst nun eine konvergente Teilfolge finden. Schau dir dazu ersteinmal $\begin{eqnarray} (x_1)^{(m)} \subset M_1 \end{eqnarray}$ an.

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