Superharmonische Funktionen

15.04.2010, 14:56

BanachraumK_5

Superharmonische Funktionen

Hallo,

mal ne Frage zu den superharmonischen Funktionen, habe mal bei Wikipedia die Definition angeschaut und muss zugeben, dass verstehe ich nicht!

Betrachte $\begin{eqnarray*} \phi(x) = \Vert x \Vert^{\alpha} \end{eqnarray*}$ ich möchte untersuchen für welche $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die Funktion superharmonisch ist wenn sie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ definiert ist. Zunächst müsste ich doch zeigen dass die Funktion oberhalbstetig ist?

Hat jmd. vlt. ein gutes Skriptum oder so zu superharmonischen Funktionen und partiellen DGLs ??

Grüße Banachraum

17.04.2010, 15:19

BanachraumK_5

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Keine Idee?

17.04.2010, 22:20

WebFritzi

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RE: Superharmonische Funktionen

Zitat:

Original von BanachraumK_5
Zunächst müsste ich doch zeigen dass die Funktion oberhalbstetig ist?

Und das ist doch einfach. Für $\begin{eqnarray*} \alpha\ge 0 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion stetig, also auch oberhalbstetig. Für $\begin{eqnarray*} \alpha < 0 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion in Null nicht oberhalbstetig, also erst recht nicht super- oder subharmonisch.

Weiterhelfen kann ich dir nicht, da ich von diesen Funktionen leider keine Ahnung habe.

18.04.2010, 17:50

BanachraumK_5

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Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} \alpha < 0 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion in Null nicht oberhalbstetig, also erst recht nicht super- oder subharmonisch.

Sie ist für diesen Fall auch nicht stetig oder? Denn sei $\begin{eqnarray*} (x_n)_n \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ eine Folge die gegen Null konvergiert, dann folgt nicht $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n) = f(0) \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert.

Ist die Funktion hingegegen nur auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ohne die Null definiert, ists sicherlich anders.

19.04.2010, 00:33

WebFritzi

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Zitat:

Original von BanachraumK_5
Ist die Funktion hingegegen nur auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ohne die Null definiert, ists sicherlich anders.

Ja, klar.

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