Schnittpunkte von ln Funktion und linearer Funktion

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Timmy Damager Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkte von ln Funktion und linearer Funktion
Meine Frage:
Hallo, ich hab da mal eine Frage zu einer Aufgabe, die ich zu morgen haben muss.

L sei die Kurve mit der Gleichung y = ln(x); x>0.
Geben sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von L und der Geraden y = m*x mit m element von R in Abhängigkeit von m an.
Beweisen Sie für m = 1/3 die Richtigkeit des Ergebnisses durch Rechnung mit Hilfe des Nullstellensatzes.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass ich beide Gleichungen gleichsetzen muss, also :ln(x) = m*x
Und dann weiß ich auch, dass zwei Punkte herauskommen müssen, nur hab ich absolut keine Ahnung, wie ich dort nach x umstellen muss, sodass ich die X koordinaten in abhängigkeit von m habe
Den Nullstellensatz habe ich noch nie gesehen bzw. niemals mit gerechnet

Also wie ihr sehen könnt smile um Hilfe wird gebeten
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne weiteres wirst du keine einfache analytische Lösung bekommen. Einfacher ist sich das für ein paar m aufzumalen und zu gucken wie viele Schnittpunkte die haben. Also für m eine negative Zahl, ne große positive und ne kleine positive zu nehmen und einfach mal gucken:

Timmy Damager Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber ich brauch erstmal allgemeine Koordinaten, die in Abhängigkeit von m zu betrachten sind. für m = 1/3 bekomme ich zwei Schnittpunkte heraus. Diese Schnittpunkte haben die X - werte : x1 = 1,85718 und x2 = 4,5364
diese Werte weiß ich aber nur von meinem grafikfähigen Taschenrechner und ich würde es nie selbst ausrechnen können, da ich ja da die beiden Punkte aus dem ersten Aufgabenteil brauche
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte mal die lila Gerade, fehlt nicht mehr viel und sie wäre ein Tangente - und diese ist für die Aufgabe wichtig. Kannst du ausrechnen für welches m das zutrifft?
Timmy Damager Auf diesen Beitrag antworten »

Öhm das wäre der Berührpunkt
also m = f' (X)
aber damit würde ich doch ausrechnen, in welchem Punkt eine Ursprungstangente an der Funktion ln (x) liegt
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@ IfindU

Falls du eine kurze Zwischenantwort erlaubst:

@ Timmy

Du hast vllt. den wichtigen Punkt übersehen: Es ist nicht möglich, deine ursprüngliche Gleichung nach x aufzulösen. IfindU versucht dir gerade einen anderen Weg klarzumachen, die Aufgabe zu lösen.
Von diesem "Gleichsetzen und Auflösen" musst du wegkommen - das geht hier nicht! Augenzwinkern

air
 
 
Timmy Damager Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Ok. Ich berechne also den berührpunkt aus, indem ich ln(x) = m * x setze und für m setze ich dann die 1. Ableitung von ln(x), welche dann 1/x wäre, ein .

so dann bekomm ich für den berührpunkt e^1 raus smile und für den y wert 1

also is der berührpunkt ( e^1 /1 )
Timmy Damager Auf diesen Beitrag antworten »

m = 1/e^1
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte gut sein, also stell dir vor wie es aussieht wenn m größer als e^-1 ist und wenn es kleiner e^-1 ist. Daran kannst du die Anzahl der Schnittpunkte ermitteln.
Timmy Damager Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok smile .. wenn m größer ist, dann sind keine schnittpunkte vorhanden und wenn m kleiner e^-1 ist, dann sind es zwei smile und das wäre ja die Anzahl .. und damit die erste Teilaufgabe gelöst. gut danke

Und wissen Sie zufällig auch wie man das mit dem Nullstellensatz macht ?
Also den Beweis für m = 1/3 durch rechnung mit Hilfe des Nullstellensatzes
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das wären die positiven m und das ist richtig. Schau dir an was bei m=0 und m<0 passiert. Nullstellensatz sagt mir gerade in dem Zusammenhang nichts.
Timmy Damager Auf diesen Beitrag antworten »

was ist eigentlich das besondere am Nullstellensatz ^^ ich kann mit dem absolut nichts anfangen und habe diesen Begriff meine ich auch noch nie gehört.

Deswegen kann ich damit herzlich wenig anfangen unglücklich ...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wikipedia meint, dass wohl der Zwischenwertsatz gemeint ist. Wenn mx > ln(x) für alle x gilt, kann keine Nullstelle existieren usw.
Timmy Damager Auf diesen Beitrag antworten »

hm ok ^^ ich lese mir das selbst erstmal durch smile vielen dank für ihre Hilfe, das war sehr gut ^^

Wenn ich noch ne Frage hab veröffentliche ich die hier einfach smile
Timmy Damager Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich hab das nicht verstanden mit dem Nullstellensatz ... weiß also immernoch nicht, wie ich es beweisen kann unglücklich
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du den Zwischenwertsatz verstanden?
Timmy Damager Auf diesen Beitrag antworten »

nein .. Diese ganzen Begriffe sind mir völlig fremd und das in der 13. Klasse auf einem Gymnasium in einem Mathematik LK ^^ peinlich peinlich .. aber ich kann damit absolut nichts anfangen
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab den Satz auch erst an der Uni kennengelernt.
Wenn du eine stetige Funktion f hast im Intervall [a,b], dann gibt es für y, das zwischen f(a) und f(b) liegt, ein x im Intervall [a,b], so dass f(x) = y.
Man kann sichs anschaulich vorstellen, wenn du f(x) = x^2 hast und das Intervall [0,2], dann kannst du dir jede Zahl von 0 bis 2^2 = 4 nehmen, z.b. 3, und weißt dass es ein x im Intervall [0,2] ist, so dass x^2 = 3.
Timmy Damager Auf diesen Beitrag antworten »

ok das hab ich verstanden

und das heißt jetzt für meine situation aber, dass ich nachweisen muss, dass es nicht nur ein x wert gibt, bei dem sich beide schneiden sondern 2 .. und das muss für m= 1/3 zutreffen
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst es umschreiben zu f(x) = ln(x) - mx. Wenn du nun x-Werte einsetzt und einmal positiv und einmal einen negativen Wert bekommst, muss laut dem Zwischenwertsatz dazwischen eine Nullstelle sein.
Allerdings wird man kaum ln(x) kaum im Kopf berechnen können, deswegen find ichs seltsam.
Timmy Damager Auf diesen Beitrag antworten »

achso also ist das aber auch nur eine art nährungsverfahren oder?? weil mein grafik taschenrechner hat da x werte ausgespuckt, auf die kann man garnicht kommen verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nichtmal in der Form ein Nährungsverfahren, es ist nur dafür da zu zeigen dass es Nullstellen gibt. Und mehr will die Aufgabe ja nicht von dir.
Timmy Damager Auf diesen Beitrag antworten »

hm ok smile ähm dann tippe ich das jetzt mal durch und werde nachher nochmal reinschreiben ob ich denn auf zwei nullstellen ( schnittpunkte der fkt. ) gekommen bin

vielen dank erstmal für die Hilfe. Hast mir echt wahnsinnig weitergeholfen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, du brauchst nur eine negative, dann eine positive und dann wieder eine negative (für größer werdendes x), dann bist du fertig.
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