Ableitung einer Funktion

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FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung einer Funktion
Hallo, habe folgende Aufgabe gegeben:



Diese soll nun nach x abgeleitet werden.

Mein Ansatz:

Produktregel














Ist das richtig? Sieht irgendwie falsch aus.

Mfg Franky
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer Funktion
Punkt vor Strich...

Wenn hier alle Klammern richtig gesetzt sind



dann hast du die Porduktregel falsch verwendet. Das x leitest du völlig separat ab. Bei der Produktregel ist dein v einfach nur

FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Also wäre das dann:



Passt es jetzt. Wie kann ich das noch vereinfachen??

Danke schon einmal für die Hilfe

Mfg franky
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

oh sehe grad das ich die Klammern doch nicht richtig gesetzt habe.




Habe ich dann am Anfang richtig abgeleitet???
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja, in deinem ersten Beitrag sind dann natürlich überall Klammerfehler, insofern ist das recht unübersichtlich. Wenn aber überall das +x auch in den Exponenten gehören soll, dann ist es richtig, ja.

Und da steht jetzt auch nicht f(x), sondern f'x, was um Himmels Willen soll das ausdrücken? Auch in deinem eigenen Interesse rate ich zu etwas mehr Sorgfalt, sonst ist es schwer, richtige Hilfestellung zu geben.
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, werde mich daran halten. Nochmal danke.

Mfg Franky
 
 
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

So möchte das ganze jetzt nochmal ausführlich aufschreiben und anschließend mit einigen Fragen zu der Aufgabe ergänzen. Würde mich freuen wenn mir da jemand helfen könnte. Also

Gegeben:



dies habe ich erstmal so umgestellt



Als erstes soll man nun die ersten beiden Ableitungen berechnen.

Dabei wende ich die Produktregel und die Kettenregel an.

Produktregel:











Einsetzen ergibt:








Analog dazu die zweite Ableitung. Diese schreibe ich jetzt nicht so ausführlich, sondern nur mein Ergebnis:



Ist das bis hier richtig???

Als nächstes soll man die lokalen Minima und Maxima berechnen. Soweit ich das in Erinnerung habe setzt man doch dabei die erste Ableitung = 0 und löst sie dann nach x auf. Die errechneten x Werte werden dann in die zweite Ableitung eingesetzt und ausgerechnet. Werte > Null sind dann ein Minimum und < Null ein Maximum. Stimmt das ???

Also:



Hier hängt es bei mir. Kann ich die Funktion jetzt einfach mal LN nehmen? Hätte dann ja auf der linken Seite Ln 0 stehen. Geht das???
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FrankyHill
Einsetzen ergibt:





Der Übergang von der oberen zur unteren Zeile ist falsch.
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja ich sehe den Fehler. Also das Ergebnis der ersten Ableitung muss heißen



Daraus ergibt sich für die zweite Ableitung



Jetzt richtig???
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist das nun mit der Berechnung der lokalen Minima und Maxima.



Kann ich hier sagen das der e-Therm in jedem Fall ungleich Null ist und ich somit nur die Klammer davor betrachten muss, da die Funktion nur so Null werden kann?

Schon einmal danke für die Hilfe

Mfg Franky
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FrankyHill
Jetzt richtig???

Ja.

Zitat:
Original von FrankyHill
Kann ich hier sagen das der e-Therm in jedem Fall ungleich Null ist und ich somit nur die Klammer davor betrachten muss, da die Funktion nur so Null werden kann?

Auch ja. Und "Term" als Bezeichung für einen mathematischen Ausdruck schreibt man ohne "h". Augenzwinkern
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann probiere ich das mal aus.








p-q Formel anwenden ergibt:





Als nächstes rechne ich die dazu gehörenden Ordinaten aus und setze die x errechneten x Werte in die zweite Ableitung ein.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FrankyHill


p-q Formel anwenden ergibt:

Einfach x ausklammern geht auch. Augenzwinkern
Nik88 Auf diesen Beitrag antworten »

was passiert denn mit der E-Funktion?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nichts. Augenzwinkern
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

So habe jetzt also für und für heraus.

Um daraus jetzt die Ordinaten Werte zu bestimmen , setze ich die x-Werte in die Ausgangsgleichung ein und löse auf. Erhalte damit

und

Damit ergeben sich die Punkte

und



Jetzt überprüfe ich noch ob es sich um ein Minima oder Maxima handelt. Dazu setze ich die x-Werte in die zweite Ableitung ein und löse auf.





In der Aufgabenstellung heißt es man soll die lokalen Extremwerte berechnen. Ist das so richtig wie ich es gemacht habe?

Danke
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

So, nun der dritte Aufgabenteil an dem ich wirklich nicht weiter komme.



Man berechne die Grenzwerte



sowie



Wie geht man hierbei vor???
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt drauf an, was man verwenden darf. Mit der l'Hospital-Regel geht es ziemlich simpel.
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt keine Eingrenzungen so das wir wohl alles benutzen dürfen. Wie funktioniert das den dann mit der l'Hospital-Regel?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, üblicherweise sollte man sich nur auf schon bekannte Eigenschaften beziehen. Was die besagte Regel angeht (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital ), braucht man noch eine kleine Umformung:

FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Das funktioniert aber doch nur bei





Dies ist ja eine nötige Bedingung für die Anwendung von l`Hospital.

Wenn ich jedoch gegen minus Unendlich strebe bekomme ich doch was anderes.



Kann ich da trotzdem den L`Hospital anwenden???

Danke
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FrankyHill
Kann ich da trotzdem den L`Hospital anwenden???

Ja, weil der Nenner nicht gegen Null, sondern auch gegen unendlich geht.
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

dann weiter beim L`Hospital.






Bringt mir immer noch nix oder. Das geht doch trotzdem gegen minus unendlich?

Was jetzt???

Danke
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FrankyHill


Beim 2. Term fehlt das "lim x --> unendlich". Außerdem würde ich den Bruch so stehen lassen und mir mal überlegen, wohin der Nenner geht.
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Aber der Nenner geht doch Richtung unendlich, oder ???
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Also geht der Bruch gegen ... ?
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »



Stimmt das jetzt??
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, selber gemerkt das das Quatsch ist. Geht natürlich gegen Null!
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich jetzt x gegen minus unendlich laufen laß, bekomme ich als Grenzwert doch auch Null raus. Nur das ich mich dem nicht von rechts (postiv ) annähre sondern von links ( negativ ) , oder . Stimmt das so. Schreibt man das irgendwie zusätzlich auf, von wo man sich dem Grenzwet nährt?

Danke
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FrankyHill
Wenn ich jetzt x gegen minus unendlich laufen laß, bekomme ich als Grenzwert doch auch Null raus. Nur das ich mich dem nicht von rechts (postiv ) annähre sondern von links ( negativ ) , oder .

Genau.

Zitat:
Original von FrankyHill
Schreibt man das irgendwie zusätzlich auf, von wo man sich dem Grenzwet nährt?

Im Normalfall nicht.
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank.
Als nächstes soll man die Wendepunkte bestimmen.

Dazu muss ich ja die zweite Ableitung Null setzen.



Wie soll ich den hier die pq Formel anwenden?



Ausklammern geht hier wohl nicht, oder? Wie kann ich die Nullstellen sonst bestimmen?

Mfg Franky
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wie so häufig bei Polynomen höheren Grades: eine Nullstelle raten und Polynomdivision machen. Augenzwinkern
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Habe dazu noch eine Frage. Man soll begründen wieviel Wendepunkte f(x) hat.
Ist es Grundsätzlich so das es nur soviele Wendepunkte gibt wie man Nullstellen in der zweiten Ableitung findet?? Abgesehen davon das einige davon ja auch Sattelpunkte sein können.

Danke
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, auch Sattelpunkte können Wendepunkte sein. Allerdings ist die Gemengelage so:

Wenn es einen Wendepunkt gibt, dann muß dort die 2. Ableitung Null sein. Demzufolge ist die Anzahl der Wendepunkte kleiner oder gleich der Anzahl der Nullstellen der 2. Ableitung.
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also stimmt das so. Bei drei gefundenen Nullstellen in der zweiten Ableitung kann es sich max. um 3 Wendepunkte handeln. Tatsächlich gibt es dann soviele wie , beim einsetzen der Nullstellen in die 3 Ableitung ungleich Null sind.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und nein. Denn selbst wenn die 3. Ableitung gleich Null ist, heißt das nicht, daß da kein Wendepunkt ist.
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

So im letzten Teil der Aufgabe heißt es:

geben sie das Maximum der Menge an.
Begründen Sie die Antwort.

Was soll man den hier machen???

Danke
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FrankyHill
Was soll man den hier machen???

Genau das, was da steht: das Maximum der Funktion bestimmen.
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie gehe ich dazu vor? Ich habe ein lokales Maximum bei -2 und ein Minimum bei 2. Außerdem strebt die Funktion gegen Null. Nur wie kann ich jetzt das Maximum der Menge bestimmen?

Danke
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es richtig das ich nun das globale Maximum der Funktion suchen soll? Das heißt ich sehe mir die Funktion im gegebenen Intervall von minus unendlich bis plus unendlich an und wenn ich dort einen größeren Wert raus bekomme als bei meinem lokalen Maximum ist dieser dann das globale Maximum. Anderenfalls ist das lokale auch das globale Maximum. Stimmt das???

Danke
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