Eigenraum bestimmen

15.04.2010, 16:19	Lemmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenraum bestimmen Meine Frage: Hallo Bitte um etwas Hilfe: Sei $\begin{eqnarray} A\in Mat_{nxn} (\mathbb C ) \end{eqnarray}$ invertierbar, und sei $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb C \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von A. Zeige, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda } \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ ist, und bestimme den zugehörigen Eigenraum. Meine Ideen: Meine Rechnung: $\begin{eqnarray} Av=\lambda v \end{eqnarray}$ \| multiplizieren mit $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{-1}Av=\lambda A^{-1}v \end{eqnarray}$ \| $\begin{eqnarray} A^{-1}A=Id_{nxn} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=\lambda A^{-1} v \end{eqnarray}$ \| multiplizieren mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda }v= A^{-1} v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{1}{\lambda } \end{eqnarray}$ ist Eigenwert von $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray*}$ Aber wie bestimme ich den zugehörigen Eigenraum?
15.04.2010, 16:21	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Beweis zeigt gleich mit dass die Eigenräume gleich sind.
15.04.2010, 16:36	Lemmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Danke dir für die Antwort. Aber wie bestimme ich den Eigenraum? Bin ganz neu in diesem mathematischen Thema. Wir haben bis jetzt immer nur Eigenräume so bestimmt, dass man den/die Eigenwerte bestimmt und dann ein Gleichungssystem löst der Form: $\begin{eqnarray} Ax=\lambda x \end{eqnarray}$ . Daraus berechneten wir x und konnten damit den Eigenraum bestimmen. Aber hier habe ich ja keine explizite Matrix z.B der 2x2 oder 3x3...
15.04.2010, 16:39	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann hier nichts konkret bestimmen. Man soll lediglich die obige Feststellung machen.
15.04.2010, 16:52	Lemmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke dir. Dachte schon, ich hätte irgendwas verpasst...

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