Inverse einer Matrix

25.10.2006, 21:13

Kira 007

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Inverse einer Matrix

hallo zusammen bräuchte dringend Hilfe

wie berechne ich eine Inverse von z.B. dieser Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\0 &-1 &1 \\ 2 &4 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich habe das irgendwie überhaupt nicht vestanden mit Anfangszeile +Zuersetzende Zeile usw.

Gruß Kira

25.10.2006, 21:14

tigerbine

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RE: Inverse einer Matrix
http://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Mat...Cr_3x3-Matrizen

25.10.2006, 21:16

Kira 007

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Das habe ich mir sogar schon angeschaut von wikipedia kann aber nicht wirklich damit was anfangen .

wie nennt man dieses Verfahren überhaupt

25.10.2006, 21:21

pfnuesel

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RE: Inverse einer Matrix
Hallo

Diese Matrix ist singulär, also nicht invertierbar.

Ansonsten kannst du der Matrix die Einheitsmatrix gegenüber stellen und mit Zeilenumformungen (an beiden Matrizen!) die zu invertierende Matrix zur Einheitsmatrix umformen. Welche Zeilenumformungen erlaubt sind, kannst du hier nachlesen. Da wird als Beispiel eine Matrix mit einem Vektor umgeformt, ersetze den Vektor durch die Einheitsmatrix und forme sie um wie im Beispiel.

25.10.2006, 21:22

tigerbine

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Also die Inverse einer Matrix zu berechnet, gehört zu den "aufwendigsten" Geschichten.

Für die Spezialfälle 2x2 und 3x3 ist dir mit dem Link ein Verfahren angegeben, so dass du aus A sofort die Inverse berechnen kann.

Ein weiterer Ansatz aus der LinA ist der klassiker mittels Elementarumformungen A auf Gestalt der Einheitsmatrix zu bringen und die selben umformungen parallel aud die Einheitsmatrix anzuwenden, das Ergbenis ist dann die inverse von A.

25.10.2006, 21:35

Kira 007

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das es aufwendig ist habe ich schon gesehen

allerdings kann es doch nicht wirklich so kompliziert sein oder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 2 & \\ 1 &-2 & \\ & & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also ersteinmal muss ich die Einheitsmatrix aufstellen richtig

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25.10.2006, 22:40

tigerbine

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Deine Matrix ist singulär, also nicht invertierbar

25.10.2006, 23:43

Kira 007

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Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4&1 \\1&2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie würde das z.B. an dieser Matrix funktionieren ?

25.10.2006, 23:51

tigerbine

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wie es in dem Wikipedia Link steht!!!

Formel für 2x2-Matrizen

$\begin{eqnarray*} A^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zahlen einsetzten schaffst Du doch alleine Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.10.2006, 00:24

Kira 007

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Natürlich würde ich das schaffen ich schreibe es mal auf wie ich es bei mir im Heft stehen habe

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 1&1&0 & \\ 1 & 2 &0 &1\\1&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&0\\0 & \frac{7}{4}&\frac{-1}{4}&1& \\1&0&\frac{2}{7}&\frac{-1}{7}\\0&1&\frac{-1}{7}&\frac{4}{7}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das ist die Gesamte matrix wenn man alles berechnet hat

$\begin{eqnarray*} K*AZ+ZZ=NZ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K*4+1=0/-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4K0-1/:4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K=\frac{-1}{4} \end{eqnarray*}$

[latex]AZ*\frac{-1}{4}+ZZ= 0 7/4 -1/4 1

wie ergibt sich aber die dritte Zeile, muss das leider ohne Formel machen

26.10.2006, 00:31

Schmonk

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Zitat:

Original von Kira 007
Natürlich würde ich das schaffen ich schreibe es mal auf wie ich es bei mir im Heft stehen habe

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 1&1&0 & \\ 1 & 2 &0 &1\\1&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&0\\0 & \frac{7}{4}&\frac{-1}{4}&1& \\1&0&\frac{2}{7}&\frac{-1}{7}\\0&1&\frac{-1}{7}&\frac{4}{7}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das ist die Gesamte matrix wenn man alles berechnet hat

$\begin{eqnarray*} K*AZ+ZZ=NZ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K*4+1=0/-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4K0-1/:4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K=\frac{-1}{4} \end{eqnarray*}$

[latex]AZ*\frac{-1}{4}+ZZ= 0 7/4 -1/4 1

wie ergibt sich aber die dritte Zeile, muss das leider ohne Formel machen

die Matrix ist nicht invertierbar, nur quadratische Matrizen sind invertierbar., du könntest höchstens eine Pseudo-Inverse berechnen, was aber echt nicht mehr Schulstoff ist(hoffe ich). Die Formeln darunter verstehe ich nicht.

Edit: Wie lautet denn genau deine Aufgabe? (Da du schreibst "...wenn man alles berechnet hat")

26.10.2006, 09:44

Kira 007

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das ist meine Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4&1 \\1&2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich kann da für allerdings keine Formel benutzen, muss das so berechnen

26.10.2006, 09:51

klarsoweit

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Also wenn die Aufgabe ist, die inverse Matrix zu bilden, dann hast du 2 Möglichkeiten:
1. Stelle die Einheitsmatrix rechts daneben und mache Matrizenumformungen, bis du links die Einheitsmatrix stehen hast.

2. Nutze die Formel von tigerbine.

26.10.2006, 10:08

Kira 007

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ich muss die 1. Möglichkeit nehmen mit Hilfe von umformungen, aber wie funktioniert das genau

26.10.2006, 10:22

klarsoweit

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Wie ich schon sagte: schreibe die Einheitsmatrix daneben und mache Matrizenumformungen, bis du links die Einheitsmatrix stehen hast.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4&1 & | & 1 & 0 \\1&2 & | & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

26.10.2006, 10:28

Kira 007

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das ist mir schon klar aber wie funktioniert das muss ich nicht nacheinander eine Null erzeugen verwirrt

verwirrt

26.10.2006, 11:37

klarsoweit

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Du wirst doch wissen, wie man elementare Matrizenumformungen macht. Man könnte z.B. erstmal die beiden Zeilen vertauschen. Dann hat man:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 0 & 1 \\ 4 & 1 & | & 1 & 0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der nächste Schritt wäre, das (-4)-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile zu addieren.

26.10.2006, 16:00

Kira 007

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Danke Klarsoweit

habs schon verstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

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