Zufallsvariable -> Wahrscheinichkeitsverteilung

15.04.2010, 17:28	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariable -> Wahrscheinichkeitsverteilung Sei $\begin{eqnarray} (\Omega, E, W) \end{eqnarray}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $\begin{eqnarray} (\Omega', E') \end{eqnarray}$ ein Ereignisraum und $\begin{eqnarray} X : \Omega \to \Omega' \end{eqnarray}$ eine Zufallsvariable. Nun wird in meinem Skriptum behauptet, dass durch $\begin{eqnarray} W^X(A') := W(X^{-1}(A')) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} A' \in E' \end{eqnarray}$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert wird. Um das 3. Kolmogorowsche Axiom nachzuweisen wird verwendet, dass die $\begin{eqnarray} X^{-1}(A_n') \end{eqnarray}$ paarweise disjunkt sind. Nun gilt zwar, dass die $\begin{eqnarray} A_n' \end{eqnarray}$ alle paarweise disjunkt sind allerdings muss daraus nicht die Disjunktheit der Urbilder folgen, da $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ja nicht injektiv zu sein braucht. Liege ich damit falsch oder liegt hier wirklich ein Fehler vor? lg
15.04.2010, 17:40	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre ein Element in 2 Urbildern so wäre bereits das Bild gleich, im Widerspruch zur Disjunktheit.
15.04.2010, 17:46	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal wieder einer meiner typischen Vorzeichenfehler Noch eine kleine Frage. Liege ich mit der Behauptung richtig, dass jede Zufallsvariable surjektiv ist? Denn es muss ja $\begin{eqnarray} X^{-1} (\Omega') \in E \end{eqnarray}$ gelten, die linke Seite wäre aber nicht definiert wenn $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ nicht surjektiv ist
15.04.2010, 18:04	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein natürlich muss eine ZV nicht surjektiv sein! $\begin{eqnarray} X^{-1}(A) = \{x\in \Omega \mid X(x) \in A\} \end{eqnarray}$ . Das somit ist sicherlich immer $\begin{eqnarray} X^{-1}(\Omega') = \Omega \end{eqnarray}$ aber X muss nicht surjektiv sein.
15.04.2010, 19:58	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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