geom. Reihe

15.04.2010, 17:45

Sabirna38

geom. Reihe

Hallo,

hab da ein kleines Problem mit folgender Aufgabe ( versuche schon seit einer Stunde die Lösung nachzuvollziehen) verwirrt

Stellen Sie g als rationale Funktion dar $\begin{eqnarray*} g(x):=\sum\limits_{k=1}^\infty {(3k+2)x^k} \end{eqnarray*}$

in der Lösung heißt es:

Mithilfe der geom. Summenformel erhalten wir für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$

1) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty {(3k+2)x^k} =3 \sum\limits_{k=1}^\infty {kx^k}+2\sum\limits_{k=1}^\infty {x^k} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} =3x \sum\limits_{k=0}^\infty {(k+1)x^k}+2x\sum\limits_{k=0}^\infty {x^k} \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} = \frac{3x}{(1-x)^2}+\frac{2x}{1-x} \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} =\frac{5x-2x^2}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Zu 1) OK soweit alles klar

Zu 2) jetzt hab ich so meine Probleme das mit $\begin{eqnarray*} 2x\sum\limits_{k=0}^\infty {x^k} \end{eqnarray*}$ ist mir klar Indexverschiebung da geom. Reihe bei k=0 beginnen muss.
Wie kommt man aber von $\begin{eqnarray*} 3 \sum\limits_{k=1}^\infty {kx^k} \text{ zu } 3x \sum\limits_{k=0}^\infty {(k+1)x^k} \end{eqnarray*}$ ????

Zu 3) hinterer Teil klar geom. Reihe, aber $\begin{eqnarray*} 3x \sum\limits_{k=0}^\infty {(k+1)x^k}\text{ zu } \frac{3x}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$ ist das eine geometrische Reihe ???

Könnte mir bitte jemand helfen damit ich das verstehen kann

Danke smile

15.04.2010, 17:49

Sabrina38

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Hab schon einen Teil gerade selbst gesehen: Wink

Zu 3) Wie kommt man aber von $\begin{eqnarray*} 3 \sum\limits_{k=1}^\infty {kx^k} \text{ zu } 3x \sum\limits_{k=0}^\infty {(k+1)x^k} \end{eqnarray*}$ is ja auch nur eine Indexverschiebung

Manchmal sieht man vor lauter Wald die Bäume nicht mehr Hammer

16.04.2010, 00:11

speedyschmidt

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Man kann die Potenzreihe gliedweise differenzieren und dann entsteht eben auch die Ableitung von 1/(1-x). Hoffe das hilft Wink

16.04.2010, 12:22

Sabrina38

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Erstmal Danke für die Antwort.

Verstehe sie aber leider nicht, warum Ableitung ???

Ich verstehe vorallem nicht diesen Schritt: $\begin{eqnarray*} 3x \sum\limits_{k=0}^\infty {(k+1)x^k}\text{ zu } \frac{3x}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Ok man könnte $\begin{eqnarray*} 3x \sum\limits_{k=0}^\infty {(k+1)x^k} \text { in }3x \sum\limits_{k=0}^\infty x^k + 3x \sum\limits_{k=0}^\infty kx^k\text{ zerlegen} \end{eqnarray*}$
Dann wäre $\begin{eqnarray*} 3x \sum\limits_{k=0}^\infty x^k \end{eqnarray*}$ wieder eine geom.Reihe
Aber was mache ich mit dem Rest $\begin{eqnarray*} 3x \sum\limits_{k=0}^\infty kx^k \end{eqnarray*}$ ???

Kann mir bitte jemand helfen??

16.04.2010, 12:54

klarsoweit

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Leite mal $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty x^{k+1} \end{eqnarray*}$ gliedweise ab. Was bekommst du?

16.04.2010, 16:48

Sabrina38

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OK so sieht es aus

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty x^{k+1} \end{eqnarray*}$ abgeleitet is $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty {(k+1)x^k} \end{eqnarray*}$

also fast das Gleiche wie $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty {(k+1)x^k} \end{eqnarray*}$

Ich steh aber immer noch auf dem Schlauch verwirrt

wie weiter??

16.04.2010, 17:17

Risuku

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Zitat:

2) $\begin{eqnarray*} =3x \sum\limits_{k=0}^\infty {(k+1)x^k}+2x\sum\limits_{k=0}^\infty {x^k} \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} = \frac{3x}{(1-x)^2}+\frac{2x}{1-x} \end{eqnarray*}$

Also die hintere Summe sollte klar sein:

$\begin{eqnarray*} 3x \sum\limits_{k=0}^\infty {(k+1)x^k} \end{eqnarray*}$ kann etwas umgeformt werden.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 3x \sum\limits_{k=0}^\infty {(k+1)x^k} = 3x (\sum\limits_{k=0}^\infty {x^{k+1})'} = 3x (x * \sum\limits_{k=0}^\infty {x^{k})'} = 3x (x * \frac{1}{1-x} )' = 3x * \frac{1}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

So komme ich auf die angegebene Lösung.

16.04.2010, 17:43

Sabrina38

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Super

Danke jetzt hab ich es kappiert Gott

Hatte da einen Denkfehler den ich nicht bemerkt habe die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty x^{k+1} \end{eqnarray*}$ is ja nicht $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty {(k+1)x^k} \end{eqnarray*}$
sondern $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty {(k+1)x^k} \end{eqnarray*}$ , da es ja keinen konst. Faktor gibt der beim diff. wegfällt Hammer

16.04.2010, 18:10

WebFritzi

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Zitat:

Original von Sabrina38
da es ja keinen konst. Faktor

Du meinst: konstanten Summanden. Augenzwinkern

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geom. Reihe

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