Kurvendiskussionen mit Logarithmusfunktionen

15.04.2010, 18:19

CaBa

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Kurvendiskussionen mit Logarithmusfunktionen

Hallo erstmal,

ich habe beschlossen, mich mit meinen mathematischen Fragen in Zukunft an euch, liebe Forumsgemeinde, zu wenden. Da fallen von Zeit zu Zeit schon einige Fragen an und ich bin mir sicher, dass ihr mir helfen könnt.

Hier zunächst mal die Aufgabe, bei der ich ein paar Fragen habe:

Gegeben ist die Funktion f: f(x) = $\begin{eqnarray*} -ln(1-e^{-x}) \end{eqnarray*}$ ; Df = Df max; ihr Graph ist Gf.

a) Geben Sie Df max an. Besitzt f eine (oder mehrere) Nullstelle(n)?

Ich würde sagen: Df = $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und f müsste eigentlich keine Nullstellen besitzen, da ja $\begin{eqnarray*} -e^{-x} \end{eqnarray*}$ nie null werden kann.

b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.

Also ich hab erstmal die beiden Ableitungen gebildet:

f'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{-e^{-x}}{1-e^{-x}} \end{eqnarray*}$

f''(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})²} \end{eqnarray*}$

Hab ich die Funktion richtig abgeleitet?

Die Funktion hat dann aber weder einen Hochpunkt noch einen Tiefpunkt, oder?

15.04.2010, 18:25

Mulder

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RE: Kurvendiskussionen mit Logarithmusfunktionen
Erstmal eine Skizze machen:

Dein Definitionsbereich ist falsch, für welche Argumente ist der Logarithumus denn definiert?

Deine Ableitungen sind aber alle richtig. Freude

Freude

Stimmt, f hat weder Extrem-, noch Wendepunkte. Begründung dazuschreiben.

15.04.2010, 18:54

CaBa

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Ach so, für alle positiven reellen Zahlen.

Das die Funktion keine Extrempunkte hat, ist klar. Erste Ableitung gleich null setzen, d. h. $\begin{eqnarray*} -e^{-x} \end{eqnarray*}$ = 0. Und da das nie null werden kann, gibt es auch keine Extrempunkte.

Unabhängig von der Aufgabe: Weil du Wendepunkte erwähnst, was genau ist eigentlich ein Wendepunkt? Und wie berechne ich Wendepunkte? Muss man da nicht noch die dritte Ableitung bilden?

15.04.2010, 18:59

Mulder

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RE: Kurvendiskussionen mit Logarithmusfunktionen

Zitat:

Original von CaBa
Ach so, für alle positiven reellen Zahlen.

Das ist richtig. Für welche x trifft das hier zu?

Zitat:

Original von CaBa
Unabhängig von der Aufgabe: Weil du Wendepunkte erwähnst, was genau ist eigentlich ein Wendepunkt? Und wie berechne ich Wendepunkte? Muss man da nicht noch die dritte Ableitung bilden?

Wikipedia: Wendepunkt

Zur Monotonie noch: Da kannst du mit der ersten Ableitung argumentieren.

15.04.2010, 19:26

CaBa

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RE: Kurvendiskussionen mit Logarithmusfunktionen

Zitat:

Original von Mulder
[quote]Original von CaBa
Ach so, für alle positiven reellen Zahlen.

Das ist richtig. Für welche x trifft das hier zu?
[quote]

Na für alle positiven x.

Ok, das mit dem Wendepunkt verstehe ich.

Jetzt geht die Aufgabe noch weiter:

c) Begründen Sie, dass die Funktion f umkehrbar ist, und geben Sie f^-1(x) an. Was fällt ihnen auf? Deuten Sie Ihr Ergebnis geometrisch.

Also da wüsste ich nicht, wo ich beginnen sollte. Ich weiß, dass ln x die Umkerfunktion von e^x ist, aber wie könnte ich da weitermachen?

15.04.2010, 19:40

Mulder

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RE: Kurvendiskussionen mit Logarithmusfunktionen

Zitat:

Original von CaBa
Also da wüsste ich nicht, wo ich beginnen sollte. Ich weiß, dass ln x die Umkerfunktion von e^x ist, aber wie könnte ich da weitermachen?

Wenn eine Funktion auf ihrem Definitionsbereich streng monoton steigend (oder fallend) ist, ist sie auch umkehrbar. Das ist gleichbedeutend damit, dass jeder Funktionswert nur höchstens einmal angenommen wird. Die Monotonie geht bequem über die Ableitung. Hast du ja eigentlich schon gemacht. Also, ist f umkehrbar?

Und dann mach eben den Ansatz

$\begin{eqnarray*} y = - \ln(1-e^{-x}) \end{eqnarray*}$

und stelle das nach x um. Fertig. Das ist dann deine Umkehrfunktion.

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15.04.2010, 20:15

CaBa

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Puhhhhhhhhh, also wenn ich das nach x auflösen will, schreib ich das ganze erstmal so hin:

$\begin{eqnarray*} -(1-e^{-x}) = e^{y} \end{eqnarray*}$

Wenn man das dann umstellt, sieht's so aus:

$\begin{eqnarray*} e^{-x} = e^{y}+1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das bishierher, oder hab ich schon ein Fehler gemacht?

15.04.2010, 21:08

Mulder

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RE: Kurvendiskussionen mit Logarithmusfunktionen
Vorsicht: Nach dem Anwenden der e-Funktion erhälst du zunächst

$\begin{eqnarray*} e^y = e^{-\ln(1-e^{-x})} \end{eqnarray*}$

Das ist gleichbedeutend mit (Potenzgesetze):

$\begin{eqnarray*} e^y = \frac{1}{e^{ \ln(1-e^{-x} ) }} \end{eqnarray*}$

Das Minus im Exponenten darfst du also nicht einfach ignorieren.

Edit: Sorry, Fehler in der Latex-Umgebung.

16.04.2010, 13:06

CaBa

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Wenn man die Gleichung jetzt mit $\begin{eqnarray*} e^{ln(1-e^{-x})} \end{eqnarray*}$ multipliziert und dann entsprechend ausmultipliziert, müsste es dann so sein:

$\begin{eqnarray*} e^{y}-e^{y-x} = 1 \end{eqnarray*}$

Bei dem $\begin{eqnarray*} e^{y-x} \end{eqnarray*}$ bin ich mir nicht sicher. Die Gleichung heißt ja nach dem Ausmultiplizieren $\begin{eqnarray*} e^{y}+e^{y}(-e^{-x}) \end{eqnarray*}$ . Kann man $\begin{eqnarray*} e^{y}(-e^{-x}) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} -e^{y-x} \end{eqnarray*}$ zusammenfassen?

16.04.2010, 13:18

Mulder

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Du willst doch nach x auflösen, da bringt es doch nichts, das so zusammenzufassen (so wie du das machst, darf man das machen, ja, aber es ist nicht zielführend). Du musst bei allem Rumrechnen auch immer im Auge behalten, wo du eigentlich hin willst.

$\begin{eqnarray*} e^y = \frac{1}{e^{ \ln(1-e^{-x} ) }} \end{eqnarray*}$

Multiplizieren ist durchaus noch okay:

$\begin{eqnarray*} e^y\cdot (1-e^{-x} ) = 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt teile auf beiden Seiten durch e^y.

16.04.2010, 13:32

CaBa

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Okay, dann muss stehen:

$\begin{eqnarray*} 1-e^{-x} = \frac{1}{e^y} \end{eqnarray*}$

Wie soll ich jetzt weitermachen? Also ich würde es dann so machen:

$\begin{eqnarray*} -e^{-x} = \frac{1-e^{y}}{e^{y}} \end{eqnarray*}$

Erstaunt1

Erstaunt1

16.04.2010, 13:35

Mulder

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Tja nun, weiter! Du bist doch fast fertig. Wieder logarithmieren!

Multiplikation mit -1 auf beiden Seiten bietet sich aber vorher an.

16.04.2010, 13:54

CaBa

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Also $\begin{eqnarray*} -x = ln[-(\frac{1-e^{y}}{e^{y}})] \end{eqnarray*}$

und schließlich

$\begin{eqnarray*} x = -ln(\frac{e^{y}-1}{e^{y}}) \end{eqnarray*}$

16.04.2010, 13:56

Mulder

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Und, fällt dir was auf? Mir schon. smile

smile

Dir vielleicht nicht, weil du zwischendurch etwas ungünstig umgeformt hast. Zieh den Bruch im Logarithumus mal wieder auseinander.

16.04.2010, 14:03

CaBa

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Oh mann, die selbe Funktion, nur x und y vertauscht. Betreibt man so einen riesen Rechen-Aufwand und im Prinzip steckt nichts weiter dahinter. verwirrt

verwirrt

16.04.2010, 14:04

Mulder

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Genau, Funktion und Umkehrfunktion sind identisch. Wie kann man das geometrisch deuten?

16.04.2010, 14:13

CaBa

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Mensch, ihr seid ja hier schneller als der Schall.

Jedenfalls wurde die normale Funktion an der Winkelhalbierenden gespiegelt, dann ist das die Umkehrfunktion, oder?

16.04.2010, 14:14

Mulder

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Zitat:

Original von CaBa
Jedenfalls wurde die normale Funktion an der Winkelhalbierenden gespiegelt, dann ist das die Umkehrfunktion, oder?

Genau. Die sind hier identisch, also liegt eine gabz bestimmte Symmetrie vor. Darauf läuft die Frage hinaus.

16.04.2010, 14:25

CaBa

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Ok, also sind Funktion und Umkehrfunktion achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden?

16.04.2010, 14:30

Mulder

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Genau.

16.04.2010, 14:34

CaBa

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Nun, dann bedanke ich mich bei dir für deine Hilfe! Hab einiges dazu gelernt und werde mich schon bald wieder hier mit der einen oder anderen Frage melden. Am Montag is ja schon wieder Mathe... Big Laugh

Big Laugh

Also hab vielen Dank! Wink

Wink

Freude

17.04.2010, 10:02

CaBa

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Melde mich nochmal zurück, weil mir bei dieser Aufgabe noch was unklar ist, speziell im Zusammenhang mit der waagrechten Asymptote der Funktion.

Also ich weiß ja jetzt, dass die Funktion die waagrechte Asymptote y = 0 besitzt!
Und dazu muss man x gegen Unendlich gehen lassen, oder? Dann kommt logischerweise auch 0 raus, aber wenn ich x gegen -Unendlich gehen lasse, kommt jedenfalls nicht 0 raus.

Oder muss ich zur Ermittlung der waagrechten Asymptote x nur gegen +Unendlich gehen lassen.

Bin ein wenig verwirrt

verwirrt

17.04.2010, 10:28

Mulder

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Darf ich dich nochmal an den Definitionsbereich von f erinnern?

Definition Waagerechte Asymptote (Annäherung in x-Richtung)

Zur Erinnerung nochmal das Schaubild von f:

Kann unser f für x gegen minus unendlich einen Grenzwert besitzen?

17.04.2010, 10:38

CaBa

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Ach natürlich nicht, da der Definitionsbereich ja nur die positiven reellen Zahlen umfasst. geschockt

geschockt

19.04.2010, 17:34

CaBa

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Kurze Frage zur Funktion $\begin{eqnarray*} e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ :

Man soll begründen dass W = ]0; 1] ist. Wie stelle ich das denn am Besten an?

Vor allem, wieso ist die Klammer vor der Null nach außen geöffnet. Hab ich noch nie verstanden.

19.04.2010, 17:48

Pavel

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Zitat:

Original von CaBa
Kurze Frage zur Funktion $\begin{eqnarray*} e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ :

Man soll begründen dass W = ]0; 1] ist. Wie stelle ich das denn am Besten an?

Vor allem, wieso ist die Klammer vor der Null nach außen geöffnet. Hab ich noch nie verstanden.

$\begin{eqnarray*} ]0;1] = \{ x \in \mathbb{R} : 0<x\leq 1 \} \end{eqnarray*}$

Die nach außen geöffnete Klammer bedeutet also, dass der Wert nicht zum Intervall dazugehört!

Um den Wertebereich zu prüfen, könntest du Extremstellen/-werte und das Verhalten im Unendlichen bestimmen. Daraus sollte die Behauptung erkennbar sein.

19.04.2010, 17:51

Iorek

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Vllt. als alternative Schreibweise: $\begin{eqnarray*} ]a;b[=(a;b)=\{x\in\mathbb R | a<x<b\} \end{eqnarray*}$ , ansonsten hat Pavel alles gesagt.

19.04.2010, 18:21

CaBa

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Ok, alles klar! Freude

Freude

21.04.2010, 16:09

CaBa

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Also jetzt mal eine wie ich finde besonders schwierige Aufgabe.

Es geht um die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \end{eqnarray*}$ .

Nullstellen, Monotonie, usw. ist alles schon erledigt.

Hier die Teilaufgabe:

Gf wird um den Ursprung O(0/0) gegen den Uhrzeigersinn um 90° gedreht. Tragen Sie den neuen Graphen Gf* ein (schon erledigt) und ermitteln Sie den Funktionsterm von f*. Erläutern Sie die Rechnung, die eine Drehung um O(0/0) gegen den Uhrzeigersinn um 90° beschreibt.

Tja, ich bin ziemlich ratlos. Wie sollte ich denn da am besten anfangen? verwirrt

verwirrt

22.04.2010, 17:17

CaBa

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Hat denn niemand mal nen Ansatz für mich? Wenn ihr schon an der Aufgabe scheitert, wie soll ich die dann lösen? geschockt

geschockt

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