Differenzialgleichung aufstellen

15.04.2010, 19:19	Vieta	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzialgleichung aufstellen Auf einer Hochzeit wird Traubensaft ausgeschüttet. Zu Beginn der Feier sind 100 Liter Saft mit einem Zuckergehalt von 100g/l vorhanden. Die Gäste trinken 2 Liter Saft in der Minute. Damit immer genügend Saft vorhanden ist, werden kontinuierlich 2 Liter Saft mit einem Zuckergehalt von nur 75 g/l pro Minute nachgefüllt. Die Funktion, die die Zuckermenge beschreibt sei z(t): Stellen Sie die Gleichung auf, die die Änderung der Zuckermenge pro Zeitintervall beschreibt! Jetzt mein Problem. Ich weiß, dass ich die Funktion z'(x) aufstellen soll und ich weiß, dass der Zuckergehalt abnimmt. Leider weiß ich aber nicht, wie ich die anderen Bedingungen in die Gleichung einweben kann. Hat jemand einen Tipp für mich? Schöne Grüße vieta
15.04.2010, 20:19	Pupsi	Auf diesen Beitrag antworten »
also pass auf, am besten ist du betrachtest erst gar nicht den Zuckergehalt sondern die Zuckermasse. dann hast du zum beispiel eine Konstante Masse an Zucker die in den Pott reinfließt und eine Masse Zucker (abhängig vom momentanzuckergehalt und damit auch von der momentanen Zuckermenge im Pott (stichwort: gesamtvolumen konst.)) die rausfließt. dann brauchste die änderungen nur zusammenaddieren und du hast die Zuckermassenänderung im Pott. Habs durchgerechnet, ist nicht allzu schwer. kannst aber gern nochmal posten falls du noch weitere Hinweise brauchst, oder Fragen hast.
15.04.2010, 21:17	Vieta	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich probiere es mal. Es werden konstant 2 Liter mit 75 g/l dazugegeben, also 150 g pro Minute. Es wird pro Zeiteinheit 1/50 des gesamten Saftes getrunken. Das bedeutet, dass 1/50 des noch vorhandenen Zuckers getrunken werden. Deshalb komme ich auf folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} z'(t)=0,15-\frac{1}{50}z(t) \end{eqnarray}$ Alle Angaben in Kilo. Stimmt die Gleichung?
15.04.2010, 22:09	phiLLo	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt erklär mal ganz langsam wie du darauf gekommen bist^^
15.04.2010, 22:10	Pupsi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, das sieht sehr gut aus. das mit den Einheiten ist nicht ganz richtig, du musst dir eigentlich immer vor Augen führen was jetzt deine größe z ist, entweder der Zuckergehalt (konzentration) oder die Zuckermasse, was dann ja schließlich die Einheiten bestimmt. also hast du ja jetzt (wenn wir die Massen betrachten) $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}m_z^+}{\mathrm{d}t} = const = 0.075 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{l}} \cdot \frac{2\ \mathrm{l}}{\mathrm{min}} = 0.15 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{min}} \end{eqnarray}$ also der erste Summand ("das Hineinfließen") hat die Einheit "kg/min" und nun Achtung, du multiplizierst ja jetzt beim 2. Summanden noch mit m(t) also ist die Einheit die dort bei steht nur 1/min: $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}m_z^-}{\mathrm{d}t} = \mathrm{c}_\mathrm{Pott} \cdot \frac{2\ \mathrm{l}}{\mathrm{min}} = \frac{\mathrm{m}_\mathrm{z}}{100l}\cdot \frac{2\ \mathrm{l}}{\mathrm{min}} = \frac{1}{50\mathrm{min}}\cdot \mathrm{m}_\mathrm{z} \end{eqnarray}$ alser der zweite Summand ("das Hinausfließen") hat als Einheitsvorfaktor 1/min Gesamtänderung ist Summe der einzeländerungen und dann kommt genau deine DGL heraus: $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}\mathrm{m}_\mathrm{z}(t)}{\mathrm{d}t} = 0.15 \frac{kg}{\mathrm{min}} - \frac{1}{50\mathrm{min}}\cdot\mathrm{m}_\mathrm{z}(t) \end{eqnarray}$ Lösen tust du diese übrigens einfach durch Separation und Integration
15.04.2010, 22:51	Vieta	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine schöne Antwort. Mit Einheiten sieht das ganze gleich anders aus. Ich habe es jetzt noch nicht ausgerechnet, werde aber bei Bedarf das Ergebnis die kommenden Tage hier veröffentlichen
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