Stetigkeit - Umgebung

25.10.2006, 21:36

Claudi

Stetigkeit - Umgebung

Sei $\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ eine Abbildung zwischen den Mengen X und Y. Sei $\begin{eqnarray*} x_0 \in X \end{eqnarray*}$ . f heißt stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ wenn für jede Umgebung V von $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung U von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} f(U) = V \end{eqnarray*}$

Nun ist zu zeigen: f ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ genau dann wenn gilt Für jede gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergente Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun die Rückrichtugn zeigen will, muss ich doch eine Umgebung von $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ wählen, deren Urbild eine Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bildet oder nicht?

Aber da ist dann doch nicht viel zu zeigen. Als Umgebung von $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ wähle ich einfach die Umgebung die die Folgenglieder $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ enthält. Daraus folgt aber doch sofort, das eine Umgebung U von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ existiert, die die gewünschte Eigenschaft hat. nämlich enthält diese Umgebung all die Folgenglieder $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$
Damit wär diese Umgebung U gefunden.

Reicht das so?

PS: Konvergenz ist so definiert: $\begin{eqnarray*} (x_n) \to x_0 \end{eqnarray*}$ : Für alle Umgebungen U von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ existert ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ so dass für alle $\begin{eqnarray*} n \geq \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} (x_n) \in U \end{eqnarray*}$

Außerdem soll es ohne $\begin{eqnarray*} \varepsilon - \delta \end{eqnarray*}$ gemacht werden

25.10.2006, 23:42

Mathespezialschüler

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In der Stetigkeitsdefinition sollte man lieber $\begin{eqnarray*} f(U)\subset V \end{eqnarray*}$ schreiben!
Du musst, um die Rückrichtung zu zeigen, nicht eine Umgebung $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ wählen. Du musst zu jeder beliebigen Umgebung $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ angeben, sodass $\begin{eqnarray*} f(U)\subset V \end{eqnarray*}$ gilt (s. Definition!).
Du solltest das hier nicht direkt machen, sondern über einen Widerspruchsbeweis (bzw. du solltest die Kontraposition zeigen)!

Gruß MSS

26.10.2006, 17:53

Claudi

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und wie ist der Ansatz für nen Widerspruchsbeweis?

26.10.2006, 18:06

Abakus

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Siehe hier: Kontraposition

Du brauchst also nur die Behauptung negieren.

Grüße Abakus smile

27.10.2006, 12:40

Claudi

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Also ich nehme an, das gilt:

$\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ Umgebung V von $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ , so das $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ Umgebungen U von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(U) \not\subseteq V \end{eqnarray*}$ , was wiederum heißt $\begin{eqnarray*} \forall \, x \in U \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x) \notin V \end{eqnarray*}$

Ich nehme nun U als eine beliebige Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . Ab einem gewissen Index sind auch alle Folgenglieder sowie $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ selbst in U.

Aber ich weiß nun irgendwie nicht, wie ich den Widerspruch herleiten soll.

edit (Abakus): eine } durch ] ersetzt

27.10.2006, 15:50

Abakus

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Wenn du die Rückrichtung zeigen willst (also Beh. ist die Folgenstetigkeit), hast du die Kontraposition nicht korrekt gebildet.

Grüße Abakus smile

28.10.2006, 13:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Claudi
$\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ Umgebung V von $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ , so das $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ Umgebungen U von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(U) \not\subseteq V \end{eqnarray*}$ , was wiederum heißt $\begin{eqnarray*} \forall \, x \in U \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x) \notin V \end{eqnarray*}$

Nicht ganz: $\begin{eqnarray*} f(U) \not\subseteq V \end{eqnarray*}$ bedeutet, daß es ein $\begin{eqnarray*} x_U \in U \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(x_U) \notin V \end{eqnarray*}$ .

Das Vorgehen bei dem Widerspruchsbeweis geht prinzipiell so:
Wir nehmen an, daß es eine Umgebung V von f(x_0) gibt, so daß für alle Umgebungen U von x_0 gilt: $\begin{eqnarray*} f(U) \not\subseteq V \end{eqnarray*}$

Zu jedem n aus N wählen wir $\begin{eqnarray*} U_n = K_{1/n}(x_0) \end{eqnarray*}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray*} K_{1/n}(x_0) = \{x \in X | d(x;x_0) < 1/n \} \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} f(U_n) \not\subseteq V \end{eqnarray*}$ gibt es ein x_n aus U_n mit $\begin{eqnarray*} f(x_n) \notin V \end{eqnarray*}$ . Den Rest solltest du jetzt eigentlich können.

Anmerkung: bei dem Beweis wird benutzt, daß X und Y metrische Räume sind. Ich weiß nicht, ob das implizit aus dem Zusammenhang der Aufgabenstellung hervorgeht. Falls nicht, gibt es ein ernsthaftes Problem.

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