Wer kann mir bei dieser Aufgabe behilflich sein?

15.04.2010, 21:43	Mira92	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer kann mir bei dieser Aufgabe behilflich sein? Meine Frage: Hallo Ihr Lieben, habe folgendes Problem mit dieser Aufgabe: Die Vermehrung einer bestimmten Käferart wird im folgenden betrachtret. Ein Käferweibchen legt Eier und stirbt kurz danach. Aus den Eiern entwickeln sich 100 Larven (L1). Von diesen überlebt nur 1/4 das erste Jahr (L2). Von diesen Larven überlebt nur 1/5 das das 2. Jahr und verpuppt sich im dritten Jahr (P). Aus 1/5 der Puppen entwickeln sich im folgenden Jahr Käferweibchen K(K), die wiederum Eier legen. a) Stellen Sie diesen Vermehrungszyklus in einem Übergangsgraphen dar und geben Sie die Übergangsmatrix an. b) Berechnen Sie, wie sich eine Population von 4500 Larven des ersten Jahres, 2400 Larven des 2 Jahres, 300 Puppen, und 240 Käferweibchen in 4 aufeinanderfolgenden Jahren entwickelt und vergleichen Sie ihr Ergebnis mit der Anfangspopulation c) Wegen eines besonders harten Winters fallen die Überlebensraten der Larven und Puppen sowie die Eieranzahl pro Käferweibchen einmalig um 60% niederiger aus. Untersuchen Sie, welche Auswirkungen sich daraus langfristig für die Gesamtpopulationen ergeben, wenn die im Eingangstext genannten Vermehrungsdaten in sämtlichen folgenden Jahren gültig sind d) Die Populationsentwickelung der Käfer soll n8un allgemeiner untersucht werden. Dazu sei die Übergangsmatrix N in der Form N= 000x a000 0b00 00c0 gegeben. Bestimmen Sie N^4 von dieser allgemein gegebenen Übergangsmatrix N. Ermitteln Sie Bedingungen bezüglich a,b,c und x dafür, dass eine Käferpopulation langfristig ausstirbt, stabil bleibt oder wächst. Meine Ideen: Zu Aufgabe a habe ich das rausbekommen: 0 0 0 1/5 240 60 100 0 0 0 4500 24000 Usw. für das dritte und vierte Jahr. 0 1/4 0 0 X 2400 = 1125 0 0 1/5 0 300 480 Woher weiss ich aber, dass ich die Reihenfolge 240, 4500, 2400 und 300 nehmen muss? Aufgabe c und d sagt mir überhaupt nichts, ich komme da beim besten Willen nicht weiter und schreibe gerade meine Abivorklausuren Wäre echt lieb, wenn mir jemand dabei helfen könnte und mir die Lösungen für c und d mit erklärung geben könnte. Liebe Grüße, Mira
15.04.2010, 23:25	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer kann mir bei dieser Aufgabe behilflich sein? Vier Stadien folgen sich zyklisch: K-L1-L2-P-K-L1-L2-P-... Das wird durch die 4x4-Uebergangsmatrix in Teilaufgabe c gestützt, obwohl die Aufgabenformulierung den zeitlichen Ablauf (in Jahren) mehrfach missverständlich beschreibt: Es fehlt die Angabe, dass vom Schlüpfen des Käferweibchens über die Eier bis zu den Larven L1 ein Jahr vergeht. Und von L2 bis P könnte man den Eindruck gewinnen, es dauere 2 Jahre. Gemäss Matrix-Multiplikations-Regeln wird die Zeile (100 0 0 0) mit der Populationenzahl-Spalte multipliziert, also muss zuoberst 240 stehen (denn aus K gibt es 100 mal mehr für L1). Nach 4 Jahren stellen sich wieder dieselben Populationszahlen ein: N^4 ist die Einheitsmatrix. Bei c) startest du einfach mit nur 40% der gegebenen Populationen: Das reduziert den ganzen Zyklus auf 40% der früheren Zahlen. Hast du bemerkt, dass 1001/41/5*1/5 = 1 gilt? [attach]14272[/attach][attach]14273[/attach]
15.04.2010, 23:53	Mira92	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer kann mir bei dieser Aufgabe behilflich sein? Vielen Dank für die schnelle und gute Erklärung. Nur eines habe ich nicht ganz verstanden; woher weiss ich die genaue Reihenfolge, nämlich: 240, 4500, 2400, 300?
16.04.2010, 00:21	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer kann mir bei dieser Aufgabe behilflich sein? Unter «Meine Ideen» hast du durchblicken lassen, dass du Matrix mal Spalte rechnen willst. Ich hoffe, das stimme mit dem Gelernten überein. (Man kann es nämlich auch anders machen, viele Bücher machen es umgekehrt: Zeile mal Matrix). So wie du es machst bedeutet ein Matrixelement in der i. Zeile und der k. Spalte den Faktor des Uebergangs vom k. Stadium zum i. Stadium. Die Zahl 100 hast du in der 2. Zeile und 1. Spalte, also beschreibt sie den Faktor von Stadium 1=K zu Stadium 2=L1.
16.04.2010, 00:27	Mira92	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer kann mir bei dieser Aufgabe behilflich sein? sorry, wenn ich nerve, was hast du in der zweiten Aufgabe berechnet?
16.04.2010, 00:46	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer kann mir bei dieser Aufgabe behilflich sein? Habe 40% des alten Startvektors p als neues p definiert.
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