Reihenwert berechnen

16.04.2010, 13:50

schomi

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Reihenwert berechnen

Hallo zusammen!

Aufgabe lautet:
Berechne
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2} \end{eqnarray*}$

Wir haben den folgenden Hinweis erhalten:

Wir sollen folgenden Satz verwenden

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ eine periodische Funktion, so dass $\begin{eqnarray*} f \mid [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbar ist. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im quadratischen Mittel gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Sind $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ die Fourier-Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , so gilt die Vollständigkeitsrelation
$\begin{eqnarray*} \sum_{-\infty}^\infty |c_k|^2 =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |f(x)|^2 dx \end{eqnarray*}$

.

Leider sehe ich echt nicht wo ich am besten anfangen soll...

Hinweise wären sehr willkommen!

Vielen Dank und lieben Gruss

16.04.2010, 14:53

WebFritzi

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Der Dreiecksimpuls sieht vielversprechend aus :http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe#Beispiele

16.04.2010, 15:14

schomi

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Puh, das sieht mir aber zu aufwändig bzw. schwierig, als das es die Lösung sein könnte.
Oder wie müsste ich da vorgehen?

Hab erfahren, dass in einer anderen Übungsgruppe folgender Hinweis gegeben wurde:

Man soll die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 1 & \mbox{für } 0\leq x\leq\pi\\ 0 & \mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$
betrachten, welche die Periodenlänge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ hat.

Habe jetzt die Fourier-Reihe von dieser Funktion gebildet und erhalte
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=-\infty}^\infty -\frac{i}{k\pi} e^{ikx} \end{eqnarray*}$

Hilft mir das weiter?

16.04.2010, 17:17

WebFritzi

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Nein, denn die Koeffizienten sind falsch. Es ist für $\begin{eqnarray*} k\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_k = \begin{cases}0 &\text{ für gerades }\,k\\-\frac i{k\pi} &\text{ für ungerades }\,k.\end{cases} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Dann bringt's dir was.

16.04.2010, 17:55

schomi

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Wie hast du das hingekriegt mit dem $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ ?

Da $\begin{eqnarray*} c_k=\frac{1}{2}(a_k -i b_k) \end{eqnarray*}$ ist
und $\begin{eqnarray*} c_0=\frac{a_0}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ nur aus dem imaginären Teil besteht
ist demnach
$\begin{eqnarray*} c_0=0 \end{eqnarray*}$ .

Die Fourier-Reihe vereinfacht sich somit zu
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=-\infty}^\infty -\frac{i}{(2k+1)\pi} e^{i(2k+1)x} \end{eqnarray*}$

Nun wende ich die Erkenntnis auf den obigen Satz an und erhalte
$\begin{eqnarray*} |c_k|^2=|\frac{1}{(2k+1)^2}|\cdot|\frac{1}{\pi^2}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi^2}\sum_{k=-\infty}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2} =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |f(x)|^2 dx =\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} 1 dx =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Es folgt
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=-\infty}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{2} \end{eqnarray*}$

Da die Summe symmetrisch ist (sagt man das so bei Summen?) und da $\begin{eqnarray*} c_k=0 \end{eqnarray*}$ summiere ich erst ab $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ , somit folgt
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{4} \end{eqnarray*}$

Sieht ja schon mal viel besser aus, aber (gemäss WolframAlpha) stimmt das nicht... Aber ich erkenne nicht, wo ich den Fehler mache.

16.04.2010, 18:04

WebFritzi

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Zitat:

Original von schomi
Wie hast du das hingekriegt mit dem $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ ?

Natürlich indem ich einfach in die Formel eingesetzt habe:

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac 1 {2\pi}\,\int_0^{2\pi}\,f(t)e^{-ikt}\,dt. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von schomi
Da $\begin{eqnarray*} c_k=\frac{1}{2}(a_k -i b_k) \end{eqnarray*}$ ist
und $\begin{eqnarray*} c_0=\frac{a_0}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ nur aus dem imaginären Teil besteht ist demnach $\begin{eqnarray*} c_0=0 \end{eqnarray*}$ .

Das halte ich für ein Gerücht...

Zitat:

Original von schomi
Die Fourier-Reihe vereinfacht sich somit zu
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=-\infty}^\infty -\frac{i}{(2k+1)\pi} e^{i(2k+1)x} \end{eqnarray*}$

Womit du dann wiederum von deiner (falschen) Erkenntnis $\begin{eqnarray*} c_0 = 0 \end{eqnarray*}$ Abstand genommen hast.

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16.04.2010, 18:28

schomi

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von schomi
Wie hast du das hingekriegt mit dem $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ ?

Natürlich indem ich einfach in die Formel eingesetzt habe:

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac 1 {2\pi}\,\int_0^{2\pi}\,f(t)e^{-ikt}\,dt. \end{eqnarray*}$

Dann krieg ich aber einfach
$\begin{eqnarray*} c_k=\frac{-i}{k\pi} \end{eqnarray*}$
raus. Denn
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x) e^{-ikx} dx =\frac{1}{2\pi} \int_0^{\pi} \cos kx - i \sin kx dx =\frac{1}{2\pi}\left( \int_0^{\pi} \cos kx dx - i \int_0^{\pi} \sin kx dx \right)=\frac{1}{2\pi}(-\frac{2i}{k}) \end{eqnarray*}$
Woher deine Fallunterscheidung für die geraden und ungeraden?

Sorry, aber ich sehe nicht, wieso $\begin{eqnarray*} c_0\neq0 \end{eqnarray*}$ ist. Auch wenn ich $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ direkt ausrechne kriege ich raus, dass der gleich null ist und somit $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ auch gleich null ist.
verwirrt

verwirrt

16.04.2010, 18:31

WebFritzi

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Das erste Integral ist Null, richtig. Rechne nochmal das zweite Integral durch und präsentiere deine Rechnung hier. Dann sage ich dir, wo dein Fehler ist.

Zitat:

Original von schomi
Sorry, aber ich sehe nicht, wieso $\begin{eqnarray*} c_0\neq0 \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist schade. Wie wäre es, wenn du mal von den blöden a_k's weggehst und einfach in die o.a. Formel einsetzt?

16.04.2010, 18:43

schomi

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$\begin{eqnarray*} c_0 = \frac 1 {2\pi}\,\int_0^{2\pi}\,f(t)e^{0}\,dt=\frac 1 {2\pi}\,\int_0^{\pi} e^{0}\,dt =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Am besten ich sag nichts mehr :-)

Das zweite Integral

$\begin{eqnarray*} - i \int_0^{\pi} \sin kx dx = -i \left(-\frac{\cos kx}{k}\biggr |_0^\pi\right) \end{eqnarray*}$

Ou.. jep, das erklärt so einiges würde ich sagen. Wie gesagt

Zitat:

Original von schomi
Am besten ich sag nichts mehr :-)

Mal sehn wie ich das sauber verarbeiten kann.

16.04.2010, 18:51

WebFritzi

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Beachte, dass $\begin{eqnarray*} \cos(k\pi) = (-1)^k \end{eqnarray*}$ gilt. Die Anwendung dieser Regel hättest du auch umgehen können, wenn du gleich $\begin{eqnarray*} -\frac{e^{-ikx}}{ik} \end{eqnarray*}$ als Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} e^{ikx} \end{eqnarray*}$ verwendet und dann noch $\begin{eqnarray*} e^{ik\pi} = (e^{i\pi})^k = (-1)^k \end{eqnarray*}$ beachtet hättest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2010, 18:52

schomi

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$\begin{eqnarray*} \sum_{-\infty}^\infty |c_k|^2 =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |f(x)|^2 dx=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Weiter mit der schönen Erkenntnis um $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{-\infty}^\infty |c_k|^2=\frac{1}{\pi^2}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}+\frac{1}{\pi^2}\sum_{k=-\infty}^{-1} \frac{1}{(2k+1)^2}+\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Das führt zu

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}+\sum_{k=-\infty}^{-1} \frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{4} \end{eqnarray*}$

Jetzt wegen der Symmetrie
$\begin{eqnarray*} 2\cdot\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{4} \end{eqnarray*}$

und schliesslich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass das jetzt stimmt?

Vielen Dank für deine Hilfe und vor allem Geduld....

16.04.2010, 18:53

schomi

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Zitat:

Original von WebFritzi
Beachte, dass $\begin{eqnarray*} \cos(k\pi) = (-1)^k \end{eqnarray*}$ gilt. Die Anwendung dieser Regel hättest du auch umgehen können, wenn du gleich $\begin{eqnarray*} -\frac{e^{-ikx}}{ik} \end{eqnarray*}$ als Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} e^{ikx} \end{eqnarray*}$ verwendet und dann noch $\begin{eqnarray*} e^{ik\pi} = (e^{i\pi})^k = (-1)^k \end{eqnarray*}$ beachtet hättest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, stimmt.. Für ein nächstes Mal werde ich (hoffentlich) daran denken!

16.04.2010, 18:58

WebFritzi

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Du hast $\begin{eqnarray*} |c_1|^2 \end{eqnarray*}$ vergessen.

16.04.2010, 19:14

schomi

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Und nochmals...

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2-8}{8} \end{eqnarray*}$

16.04.2010, 19:19

WebFritzi

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Das habe ich so auch. Freude

Freude

16.04.2010, 19:20

schomi

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Unfassbar! Stunden später... :-)

Hätte besser das Zeug mal auf die Seite gelegt, aber das hat mich jetzt richtig genervt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank!

16.04.2010, 19:51

Kühlkiste

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RE: Reihenwert berechnen

Zitat:

Original von schomi
Hallo zusammen!

Aufgabe lautet:
Berechne
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2} \end{eqnarray*}$

Kleine Anmerkung:

Wenn

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6 \end{eqnarray*}$

bekannt ist, dann lässt sich der gesuchte Reihenwert ganz trivial berechnen.

16.04.2010, 19:56

WebFritzi

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Oh, schön. smile

smile

Das zeigt dann auch ganz leicht, dass unsere Berechnungen richtig waren. Tanzen

Tanzen

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