Skalarprodukt

16.04.2010, 14:38

apfelkuchen07

Skalarprodukt

Meine Frage:
Hallo
Ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme.

Sei $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R ^{3x3} \end{eqnarray*}$ mit:
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & 5 & 2 \\ -1 & 2 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(a) Zeigen Sie, dass für $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ durch
$\begin{eqnarray*} <x,y>:=x^{T}Ay \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ definiert ist

Meine Ideen:
Also ich weiß, damit eine Matrix ein Skalarprodukt beschreibt, muss sie folgende Eigenschaften haben:
Symmetrie (leicht bewiesen)
und
positive Definitheit
beim 2ten Punkt habe ich meine Probleme

Um positive Definitheit zu bestimmen, muss man meines Wissens nach die Eigenwerte berechnen, und wenn diese positiv sind, dann ist die Matrix positv definit.
Jedoch wenn ich die Eigenwerte berechne, entsteht auch ein negativer Wert.
Mein errechnetes charakteristisches Polynom lautet:

$\begin{eqnarray*} x^3-7x^2+x+5 \end{eqnarray*}$

Als Nullstelle habe ich x=1 genommen

die weiteren Nullstellen sind dann jedoch:
$\begin{eqnarray*} 3+ \sqrt{14} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3 - \sqrt{14} \end{eqnarray*}$ und letzteres ist ja leider negativ

Kann mir jemand bitte weiterhelfen?

Danke im vorraus

Edit: LaTeX korrigiert. Gruß, Reksilat.

16.04.2010, 14:45

jester.

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Du bist auf dem richtigen Weg. Gib einfach ein Gegenbeispiel an, um zu zeigen, dass kein Skalarprodukt vorliegt.

16.04.2010, 14:46

funnygirl

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RE: Skalarprodukt
Hallo
Ich hatte mein Account vergessen gehabt, hatte mich als mit einem Gastnick eingeloggt.
Also diese Frage stamtm von mir, jedoch klappt das mit dem Formeleditor nicht, wie genau mach ich das nochmal? Damit ihr das ganze etwas anschaulicher habt.

MfG Jessy

16.04.2010, 14:48

funnygirl

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Hmm aber in der Aufgabestellung heißt es doch, Zeigen Sie, dass...
Heißt das nicht, das es ein Skalarprodukt geben muss?

Hmm und wenn es keins gibt, soll ich dann einfach x^T*A*y ausrechnen und mir Werte für x und y ausdenken, so dass am Ende ein negativer Wert entsteht?

MfG
Jessy

16.04.2010, 14:54

jester.

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Ob da nun "dass" steht oder nicht ist doch egal. Dass kein Skalarprodukt dasteht, ist ja eine richtige beweisbare Aussage.

Und noch besser wäre, wenn du $\begin{eqnarray*} x^{tr}Ax \end{eqnarray*}$ berechnen würdest, denn die Definition der positiven Definitheit besagt: $\begin{eqnarray*} \langle \cdot , \cdot \rangle \end{eqnarray*}$ heißt positiv definit g.d.w $\begin{eqnarray*} \langle x, x\rangle > 0 ~ \forall ~ x\in V \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ .

16.04.2010, 15:07

funnygirl

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hmm okay, wenn du das sagst, vertrau ich dir mal^^
Ja also das habe ich auchsgerechnet und komme dann auf:

für x=(a,b,c)

--> 2a^2 + 5b^2 - 4ab - 2ac + 4bc

und damit ich zeigen kann, dass diese Gleichung kleiner gleich 0 ist, muss ich mri doch jez werte für a, b u c ausdenken, sodass das ganze funktioniert oder?

16.04.2010, 15:24

jester.

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Das wäre mir zu kompliziert. Schau dir mal den Eintrag (3,3) (also ganz unten rechts) der Matrix an. Fällt dir dazu etwas ein?

16.04.2010, 15:31

funnygirl

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hmm ich weiß nicht wirklich worauf du hinaus willst
ja da steht ne 0, aber was hilft mir das, bei der multiplikation von matrizen mit vektoren? bisher haben 0-en in einer matrix doch eher was gebracht, wenn man die determinante berechnet oder nen gaus-algo durchführt?
Aber wie hilft mir die hierbei?

aber würde meine idee von eben denn trotzdem funktionieren, auch wenn sie zu kompliziert scheint?^^

16.04.2010, 15:36

Reksilat

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@funnygirl: Setze den LaTeX-Code, den der Formeleditor erzeugt noch zwischen die passenden LaTeX-tags, dann funktioniert's

code:
1:	[latex]...[/latex]

Deinen Beitrag oben habe ich editiert; Du kannst dort mal auf Zitat klicken, um zu sehen, wie das am Ende korrekt aussieht.

Gruß,
Reksilat.
smile

16.04.2010, 15:41

jester.

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Falls du richtig gerechnet hast, funktioniert auch dieser umständliche Weg. Aber vielleicht kann ich dir noch ein bisschen die Augen öffnen.

Du hast ja eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und die Abbildungsvorschrift $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{3\times 1} \times \mathbb{R}^{3\times 1} \to \mathbb{R}^{3\times 1},~ (x,y)\mapsto x^{tr}Ay \end{eqnarray*}$ .

In diesem Fall beschreibt der Eintrag $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ an der Stelle (i,j) genau die Wirkung dieser Abbildung auf den i-ten und j-ten Einheitsvektor (also z.B. $\begin{eqnarray*} e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ).

Kannst du nun die Rolle des Eintrages (3,3) deuten?

16.04.2010, 15:42

funnygirl

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ok dankeschön =)

16.04.2010, 15:44

funnygirl

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Hmm um ehrlich zu sein, versteh ich nichtmal was du gerade geschrieben hast? Was hat das alles mit dem Einheitsvektor zu tun?
MfG

16.04.2010, 17:15

jester.

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Dann schau doch mal, was passiert, wenn du dieses Produkt von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit sich selbst bildest; also $\begin{eqnarray*} (0,0,1)A\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

17.04.2010, 11:53

funnygirl

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Ja dann kommt als Wert 0 raus?
und dann ist die matrix nur positive semidefinit und nicht pos definit
Also hätte ich einfach den vektor x als einheitsvekor wählen können?
ja das wäre einfacher gewesen^^
danke =)

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