Vektorprodukt

16.04.2010, 15:05

Jabba

Vektorprodukt

Hallo!

Ich habe ne Frage: Ein Produkt v x w steht senkrecht auf v und w, wenn gilt: <v,v x w> = 0 und <w,v x w> = 0.
Wenn $\begin{eqnarray*} v= \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w= \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so ist doch:
$\begin{eqnarray*} <v, v \times w> = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_2 w_3 - v_3 w_2 \\ v_3 w_1 - v_1 w_3 \\ v_1 w_2 - v_2 w_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 v_2 w_3 - v_1 v_3 w_2 \\ v_2 v_3 w_1 - v_1 v_2 w_3 \\ v_1 v_3 w_2 - v_2 v_3 w_1\end{pmatrix} \neq 0 \end{eqnarray*}$
oder nicht?
..da kann aber etwas nicht stimmen, denn eigentlich muesste das ja 0 ergeben..

16.04.2010, 15:35

Romaxx

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Hallo Jabba,

sicher, dass das Skalaprodukt so funktioniert?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_2 w_3 - v_3 w_2 \\ v_3 w_1 - v_1 w_3 \\ v_1 w_2 - v_2 w_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 v_2 w_3 - v_1 v_3 w_2 \\ v_2 v_3 w_1 - v_1 v_2 w_3 \\ v_1 v_3 w_2 - v_2 v_3 w_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Grüße

16.04.2010, 15:38

Jabba

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Eben nicht - deswegen frage ich hier ;-)
..was ist denn falsch, bzw wie sollte es richtig sein? =)

16.04.2010, 15:45

Romaxx

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Die Frage war, welches Skalarprodukt du hier vorliegen hast, es gibt nämlich mehrere.

Wenn es das Standardskalarprodukt aus der Schule sein sollte, dann war das absolut falsch.

Ein Skalarprodukt ergibt immer eine reelle Zahl.

Schau einmal im Schulbuch nach oder unter Wikipedia.

Grüße

16.04.2010, 20:17

Jabba

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Also, dass $\begin{eqnarray*} <v \times w> = \begin{pmatrix} v_2 w_3 - v_3 w_2 \\ v_3 w_1 - v_1 w_3 \\ v_1 w_2 - v_2 w_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist gegeben.

Nun - es handelt sich tatsächlich um das Standardskalarprodukt.
Das heisst doch also:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_2 w_3 - v_3 w_2 \\ v_3 w_1 - v_1 w_3 \\ v_1 w_2 - v_2 w_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 ( v_2 w_3 - v_3 w_2) \\ v_2 (v_3 w_1 - v_1 w_3) \\ v_3 (v_1 w_2 - v_2 w_1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
..oder nicht? :S

(siehe das Beispiel bei Wikipedia:
de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Definition_im_endlichdimensionalen_euklidischen_Raum_.28kanonisches_Skalarprodukt_oder_Standardskalarprodukt.29 )

16.04.2010, 22:01

Iorek

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Nein, das ist nicht das Standardskalarprodukt.

Das Standardskalarprodukt zweier Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec v =\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix},~\vec w = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix},~\vec v,\vec w \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist definiert durch: $\begin{eqnarray*} \vec v \cdot \vec w = \sum\limits_{i=1}^3 v_iw_i=v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3 \end{eqnarray*}$ . Allgemeiner ist auch für jedes Skalarprodukt das Ergebnis eine reelle Zahl und kein Vektor.

17.04.2010, 18:17

Jabba

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Hmmm..was mach ich denn hier falsch :S
(es sollte sich ja 0 ergeben..)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_2 w_3 - v_3 w_2 \\ v_3 w_1 - v_1 w_3 \\ v_1 w_2 - v_2 w_1 \end{pmatrix} = v_1 (v_2 w_3 - v_3 w_2 ) + v_2 (v_3 w_1 - v_1 w_3) + v_3 (v_1 w_2 - v_2 w_1) \end{eqnarray*}$

17.04.2010, 18:23

Iorek

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Du hast da einen allgemeinen Vektor, ohne irgendwelche Beziehungen zwischen den Vektoren anzugeben, kommt da auch nicht 0 raus.

17.04.2010, 20:12

Jabba

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Also stimmt das, was ich gemacht habe, oder? smile

17.04.2010, 22:11

Manus

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Zitat:

Original von Jabba
Hmmm..was mach ich denn hier falsch :S
(es sollte sich ja 0 ergeben..)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_2 w_3 - v_3 w_2 \\ v_3 w_1 - v_1 w_3 \\ v_1 w_2 - v_2 w_1 \end{pmatrix} = v_1 (v_2 w_3 - v_3 w_2 ) + v_2 (v_3 w_1 - v_1 w_3) + v_3 (v_1 w_2 - v_2 w_1) \end{eqnarray*}$

Da kommt doch 0 raus...

Einfach mal alle Klammern auflösen und es steht da.

18.04.2010, 00:02

Jabba

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