Schranken von Folge abschätzen

16.04.2010, 15:55	onlyme	Auf diesen Beitrag antworten »
Schranken von Folge abschätzen Hallo Matheboard, wir haben in der Vorlesung ein Beispiel gehört zur Abschätzung der Schranken einer Folge. Nun bin ich dabei, die Schritte der Umformungen nachzuvollziehen und komme bei einer Sache nicht klar. $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 1^{n-k} \left(\frac{1}{n}\right)^{k} = 1 + \sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \left(\frac{1}{n} \right)^{k} \\= 1 + \sum\limits_{k=1}^n \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n\cdot n\cdot ... \cdot n} \cdot \frac{1 \cdot 1 \cdot ... \cdot 1}{1\cdot 2\cdot ...\cdot k} \\\leq 1 + \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} = ... \leq 3 \end{eqnarray}$ Wie komme ich von der zweiten in die dritte Zeile? Wir wollen hier die obere Schranke betrachten.
16.04.2010, 16:03	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schranken von Folge abschätzen Offensichtlich ist der erste Bruch kleiner als 1 und beim zweiten Bruch gilt $\begin{eqnarray} 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k \geq 2^{k-1} \end{eqnarray}$ .
16.04.2010, 16:03	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schranken von Folge abschätzen $\begin{eqnarray} 1 + \sum\limits_{k=1}^n \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n\cdot n\cdot ... \cdot n} \cdot \frac{1 \cdot 1 \cdot ... \cdot 1}{1\cdot 2\cdot ...\cdot k} \ \leq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 + \sum\limits_{k=1}^n \frac{n\cdot n\cdot ... \cdot n}{n\cdot n\cdot ... \cdot n} \cdot \frac{1 \cdot 1 \cdot ... \cdot 1}{1\cdot 2\cdot ...\cdot 2} \end{eqnarray}$

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