Lagrange-Interpolation mit Störung |
16.04.2010, 16:12 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Lagrange-Interpolation mit Störung Ich stehe vor der folgenden Aufgabe. Gegeben seien Stützstellen und Werte . Diese werden durch interpoliert und dann gestört. Ein Maß für Kondition ist die Funktion , wobei gestörte Werte und das dazu passende Interpolationspolynom sind. Zu zeigen sind jetzt 1. und 2. , wobei das -te Lagrange-Polynom zu ist. Die erste Aussage habe ich (glaube ich) gezeigt, bei der zweiten fällt mir aber nichts Besseres ein, als die große Summe von Produkten auszuschreiben... Hat jemand vielleicht eine Idee? Cordovan |
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17.04.2010, 17:09 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich kann ja mal schreiben, wie ich (vermeintlich) Aufgabe 1 gezeigt habe. Vielleicht findet ja jemand einen Fehler. Also: Klarerweise ist , also ist . Anderseits ist das Maximum immer größer gleich dem Wert einer speziellen Wahl von und . Wähle ich diese also so, dass gilt, dann folgt . Fertig. Ist das richtig? Cordovan |
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18.04.2010, 14:28 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Cordovan, ich komme in die Notation noch nicht so ganz rein, um den Beweis prüfen zu können. soll der Vektor sein, der die Funktionswerte der Funktion an den Stellen bis enthält? D.h. wenn man die Funktionswerte exakt übergeben könnte wäre dies ein "Inputvektor". Nun ist dies i.A. ja nicht möglich. D.h. allein durch die Eingabe wird der Datensatz schon gestört sein. Das wollen wir hier aber nur für den Wertevektor betrachten. Der Knotenvektor kann exakt übergeben werden [wir haben z.B. nur an ganzzahligen Stellen interpoliert] Unter einer Konditionierung des Problems hätte ich nun eher so etwas verstanden Was mir bei dir nicht klar ist, was mit gemeint ist. |
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18.04.2010, 18:32 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo tigerbine! Danke, dass du schreibst! Also:
Ja, genau (du meinst die Stellen bis , richtig?).
Richtig.
Ich schätze, dass das Maximum über alle Belegungen von F und \tilde F bei festem Knotenvektor T genommen wird. Dabei wird die Supremumsnorm im Nenner zwar groß, allerdings beträgt der Zähler ja , so dass das Maximum (wahrscheinlich?) tatsächlich existiert. Hast du eine Idee? Cordovan |
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18.04.2010, 18:47 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ersetzte x durch t. Dass hieße dann ja, dass man diese Kondition unabhängig von der zu interpolierenden Funktion betrachten will, oder? Warum hast du in deinem Beweis [Post 2] nun betrachtet und nicht alle t? |
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18.04.2010, 18:47 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ersetzte x durch t. Dass hieße dann ja, dass man diese Kondition unabhängig von der zu interpolierenden Funktion betrachten will, oder? z.Z.
Dann ergibt sich Dabei wurde natürlich oben und unten der gleiche Funktionswertevektor vorausgesetzt. Jetzt ist die Frage mit dem Maximum. Da hast du nur unten variiert, oder? |
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18.04.2010, 19:09 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Im zweiten Post habe ich nur die erste Aussage gezeigt, also . Daher habe ich nur t_i betrachtet.
Richtig, das soll ein allgemeines Konditionsmaß für Lagrange-Interpolation sein.
Ich habe für die Abschätzung nach unten eben eine bestimmte Wahl von und getroffen... Das Maximum muss ja größer gleich jeder speziellen Wahl sein. Cordovan |
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18.04.2010, 19:41 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das meinte ich nicht. Meine Frage war, ob man dann nicht auch den Zähler anpassen müßte. Denn die Werte dort hängen doch auch von ab? Wenn man aber alle Funktion zur Verfügung hat, dann aber doch auch die konstanten Funktionen. [ Dann ist der Bezug Zähler, Nenner imho klarer] Für die ist das was du gefordert hast doch sichergestellt, wir sollten zu Sicherheit noch fordern. Was ja eigentlich klar ist. Für den zweiten Teil... Da die Stützstellen gleich bleiben... , Damit hätten wir dann Ich überlege, ob man nicht wieder das mit den konstanten Funktionen machen kann. Stellen wir noch sicher, dass Dann erhalten wir für so einen Fall doch Wie man den Betrag da nun reinbekommt, weiß ich gerade nicht. Hier mal noch ein Link, der den Zusammenhang etwas anders herleitet. http://www.ipvs.uni-stuttgart.de/abteilu.../Teil2_1-24.pdf |
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18.04.2010, 21:06 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gut, dann sind wir uns ja über den ersten Teil einig Beim Zweiten: so etwas ähnliches hatte ich mir auch überlegt. Ich glaube aber, dass die konstanten Funktionen keine ausreichende Abschätzung ergeben - den Betrag kriegt man nicht in die Summe rein. Es muss einen anderen Weg geben. Deinem Link bin ich gefolgt. Er leitet ein ähnliches Resultat her, aber im Prinzip ist es ja nur ein Beispiel, das gerechnet wird. Sieht so aus, als müsste man tatsächlich die Definition der einsetzen und irgendwie "rumwurschteln"... Cordovan |
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