topologische Äquivalenz zweier Metriken

16.04.2010, 18:18

DrunkenMonkey

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topologische Äquivalenz zweier Metriken

Hallo allerseits!

Ich habe eine Aufgabe vorliegen, von der ich glaube auch ein Lösung zu haben. Ich bin mir aber nur zu 80% sicher, deshalb hier die Aufgabe und mein Lösungsansatz.

Zunächst die beiden Metriken auf dem metrischen Raum (X,d):
1) $\begin{eqnarray*} d_m(x,y):=\min\{1,d(x,y)\} \end{eqnarray*}$
2) Sei $\begin{eqnarray*} \rho:\mathbb R^+\to\mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit
i) $\begin{eqnarray*} \rho(t)=0\Leftrightarrow t=0 \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} \rho'\geq0 \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} \rho''\leq0 \end{eqnarray*}$
Nu noch die Metrik: $\begin{eqnarray*} d_\rho(x,y):=\rho(d(x,y)) \end{eqnarray*}$ .

Damit zwei Metriken als topologisch äquivalent bezeichnet werden können muss gelten, wenn eine Folgen bezüglich $\begin{eqnarray*} d_m \end{eqnarray*}$ konvergiert, sie auch bezüglich $\begin{eqnarray*} d_\rho \end{eqnarray*}$ konvergiert und umgekehrt ... (sehr grob ausgedrückt)

Eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N}\in X \end{eqnarray*}$ konvergieren bezügleich $\begin{eqnarray*} d_m \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet:
$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon>0\exists N\in\mathbb N\forall n\geq N:d_m(x_n,x)=\min\{1,d(x_n,x)\}\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Aber heißt das nicht auch, dass gilt (also quasi als äquivalente Umformung?)
$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon>0\exists N\in\mathbb N\forall n\geq N:d(x_n,x)\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$
Naja und auf Grund der Eigenschaften der Funktion \rho gilt dann:
$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon>0\exists N\in\mathbb N\forall n\geq N:\rho(d(x_n,x))\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon>0\exists N\in\mathbb N\forall n\geq N:d_\rho(x_n,x)\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Und das hieße ja, dass die Folge auch bezüglich $\begin{eqnarray*} d_\rho \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Ich fands gut Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ob das auch so richtig gedacht bzw. gemacht ist, weiß ich nicht so wirklich.

Vielleicht könnt Ihr ja mal drüberschauen und einen Kommentar dazu abgeben.

Gruß

16.04.2010, 18:28

WebFritzi

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RE: topologische Äquivalenz zweier Metriken

Zitat:

Original von DrunkenMonkey
Naja und auf Grund der Eigenschaften der Funktion \rho gilt dann:
$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon>0\exists N\in\mathbb N\forall n\geq N:\rho(d(x_n,x))\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$

Das ist richtig, aber du hältst dich zu kurz. Man kann so nicht ersehen, ob du wirklich kapiert hast, dass das so stimmt. Ich hoffe, dir ist klar, dass das N hier nicht das gleiche sein muss wie das in der Zeile drüber.

16.04.2010, 18:37

DrunkenMonkey

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Danke für die schnelle Antwort. Das das N jeweils veschieden sein kann, war mit bewusst und ich weiß, dass ich es SEHR schludrig aufgeschrieben habe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Damit auch ersichtlich wird, dass ich es kapiert habe, sollte ich den Teil über die Funktionseigenschaften von $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ von wohl ein wenig ausweiten. Bzw, das brauch ich so explizit gar nicht, da es sich bei dieser Aufgabe lediglich um eine Teilaufgabe handelt und davor habe ich $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ denke ich ausgiebig erläutert, so, dass ich auf die entsprechenden Stellen verweisen könnte.

Gibts sonst noch etwas anzumerken? Sonst danke ich für die Hilfe und melde mich bei Gelegenheit bestimmt wieder smile

smile

DrunkenMonkey

16.04.2010, 18:47

WebFritzi

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Zitat:

Original von DrunkenMonkey
Gibts sonst noch etwas anzumerken?

Ja. Die Rückrichtung fehlt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2010, 18:50

DrunkenMonkey

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geschockt

What?? Oh, ich hatte gedacht, dass das alles Äquivalenzumformungein seien. War ich wohl doch nicht so "kluk" wie ich dachte. Ok, dann überleg ich nochmal ne Runde Augenzwinkern

Augenzwinkern

PS: Da wär ich aber schön doof auf die Fre*** gegangen mit der Aufgabe auf dem Übungszettel...

16.04.2010, 18:54

WebFritzi

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Es sind ja auch alles Äquivalenzumformungen. Frage ist eben nur, warum.

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16.04.2010, 19:06

DrunkenMonkey

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Hmkay. Also wichtig sind die Umformungen von

1) $\begin{eqnarray*} \forall\ldots:\min\{1,d(x_n,x)\}\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ zu
2) $\begin{eqnarray*} \forall\ldots:d(x_n,x)\}\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$

und von
3) $\begin{eqnarray*} \forall\ldots:d(x_n,x)\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ zu
4) $\begin{eqnarray*} \forall\ldots:\rho(d(x_n,x))\}\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$

bzw. von 4) nach 1). 1) nach 2) lässt sich erklären dadurch, dass ab einem gewissen N die 1 irrelevant wird und $\begin{eqnarray*} d_m \end{eqnarray*}$ in wesentlichen $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ entspricht (bis auf endlich viele Ausnahmen). Von 3) nach 4) gelangt man, in dem man erkennt, dass bei steigenden n d beliebig klein wird, da ja die Folge ( $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ) gegen x konvergiert. Schaut man sich $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ an, merkt man, dass ich $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ bei kleiner werdenen t beliebig nah 0 annähert und deshalb $\begin{eqnarray*} d_\rho \end{eqnarray*}$ bei großen N auch beliebig klein wird.

Ist das erstmal korrekt soweit?

16.04.2010, 19:17

WebFritzi

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Das ist umgangssprachlich korrekt, aber nicht mathematisch. Das müsstest du noch genauer machen.

Jetzt würde mich noch interessieren, wie du von 4) nach 3) kommst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2010, 19:24

DrunkenMonkey

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Puh, du nimmest es aber ziemlich genau heute Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber du hast schon recht. Ich muss das natürlich noch etwas mathematischer aufschreiben, aber das bekomme ich hin - denke ich zumindest.

Zitat:

Jetzt würde mich noch interessieren, wie du von 4) nach 3) kommst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mich auch. Ich merke erst jetzt, dass ich dafür noch gar keinen Ansatz habe. War wohl doch zu viel Intuition und weniger Wissen dabei *grml* Hm, zur Zeit fällt mir kein Hebel ein, mit dem ich ansetzen könnte. Kannst du mich ein wenig "schubsen"?

16.04.2010, 19:38

DrunkenMonkey

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Ich glaube ich habe eine Idee. Kann ich nicht mit der Stetigkeit von \ $\begin{eqnarray*} rho \end{eqnarray*}$ argumentieren?

Ich nehmen an, die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen x bezüglich $\begin{eqnarray*} d_\rho \end{eqnarray*}$ - heißt:
$\begin{eqnarray*} \rho(d(x_n,x))\longrightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\longrightarrow\infty \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ stetig. D.h.: $\begin{eqnarray*} \rho(d(x_n,x))\longrightarrow0\Longleftrightarrow d(x_n,x)\longrightarrow0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\longrightarrow\infty \end{eqnarray*}$ .

Und dann konvergiert $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ gegen x bezüglich d bzw. bezüglich $\begin{eqnarray*} d_m \end{eqnarray*}$ .

Was hälts du davon? Oder vielmehr ihr alle hier im Forum?

DrunkenMonkey: over and out (zumindest für heute Abend)

16.04.2010, 19:51

WebFritzi

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Zitat:

Original von DrunkenMonkey
Jetzt ist $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ stetig. D.h.: $\begin{eqnarray*} \rho(d(x_n,x))\longrightarrow0\Longleftrightarrow d(x_n,x)\longrightarrow0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\longrightarrow\infty \end{eqnarray*}$ .

Nein! Es stimmt zwar, was du da hingeschrieben hast. Aber der Grund ist nicht der, dass rho stetig ist. Die Stetigkeit begründet nur den Rückpfeil (und übrigens auch 2)=>3), was mich vermuten lässt, dass dir diese Implikation doch nicht ganz klar war). Du bist mir schon etwas zu schlurig, mieen Jong. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2010, 19:54

DrunkenMonkey

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Danke, das baut auf Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hm, nee, dann fällt mir zur Zeit nichts mehr ein. Gibts n kleinen Tipp von deiner Seite mit dem ich dann den Abend verbringen kann?

Gruß,
DrunkenMonkey

16.04.2010, 19:57

WebFritzi

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"Umkehrfunktion" vielleicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2010, 20:06

DrunkenMonkey

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*klick* Also, ich soll die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} \rho^{-1} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \rho(d(x_n,x)) \end{eqnarray*}$ anwenden und erhalte $\begin{eqnarray*} d(x_n,x) \end{eqnarray*}$ ("quasi") und sehe dann, dass sich das Epsilon (auf das das $\begin{eqnarray*} \rho^{-1} \end{eqnarray*}$ auch draufgeschmissen wurde) ähnlich verhält und immer noch gilt $\begin{eqnarray*} d(x_n,x)\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

[Immer noch "schlurig" aber ich will das nur von der Idee her verstehen... das Feintuning kommt später]

17.04.2010, 21:43

WebFritzi

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Die wichtigste Zutat, die bei der obigen Äquivalenzkette benutzt wird, ist die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \rho^{-1} \end{eqnarray*}$ im Nullpunkt. Dazu musst du noch begründen, warum die Umkehrfunktion eigentlich stetig ist.

Da fällt mir gerade auf, dass man ein wenig aufpassen muss. Wenn nämlich $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ irgendwann konstant wird. Dieser Fall widerspricht den Bedingungen nicht. Dann gibt es nicht einmal eine Umkehrfunktion. Aber nahe Null schon. Du musst also noch zeigen, dass nahe Null eine Umkehrfunktion existiert und diese dort stetig ist.

18.04.2010, 13:11

DrunkenMonkey

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Mahlzeit!

Ich schreibe das ganze noch einmal sauber hin...

Meine Bedingungen:

(1) $\begin{eqnarray*} \rho:\mathbb R^+\to\mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ zweimal stetig differenzierbar
(2) $\begin{eqnarray*} \rho(t)=0\Longleftrightarrow t=0 \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} \rho'\geq0 \end{eqnarray*}$
(4) $\begin{eqnarray*} \rho''\leq0 \end{eqnarray*}$

Was ich daraus mache:
Nach (2) ist $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ die einzige Nullstelle, dann folgt mit (3), dass ein $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} \rho'_{|[0,r]}>0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,r]=:I \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend ist. Daraus folgt, dass auf dem Intervall I eine Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} \rho^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert. Da $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ auf I stetig und $\begin{eqnarray*} \rho'>0 \end{eqnarray*}$ auf I gilt $\begin{eqnarray*} \rho^{-1} \end{eqnarray*}$ stetig auf I.

Wenn das alles korrekt ist, existiert nahe bei 0 eine Umkehrfunktion, die dort auch noch stetig ist Tanzen

Tanzen

19.04.2010, 00:29

WebFritzi

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Zitat:

Original von DrunkenMonkey
Nach (2) ist $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ die einzige Nullstelle, dann folgt mit (3), dass ein $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} \rho'_{|[0,r]}>0 \end{eqnarray*}$ .

Nein, so leicht ist das leider nicht. Wieso sollte das allein aus (3) folgen?

19.04.2010, 10:23

DrunkenMonkey

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Naja, weil ich ja weiß, dass $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ positiv ist und wenn 0 die einzige Nullstelle ist, muss nach 0 die Funktion zumindest in einem gewissen Radius streng monoton steigend sein. Fallen kann sie nicht, und konstant sein auch nicht...

19.04.2010, 13:55

WebFritzi

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Das ist lediglich Prosa. Und dazu eine nicht besonders stichhaltige. Du musst deine Behauptung schon konkret beweisen. Wieso gibt es keine Nullfolge $\begin{eqnarray*} (x_n), \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \rho'(x_n) = 0 \end{eqnarray*}$ ist? Es ist wahr. Aber warum?

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