Gammafunktion

16.04.2010, 20:30

Student123456789

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Gammafunktion

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:

Für x>0 ist die Gammafunktion gegeben durch...Man berechne Gamma(1), Gamma(2) und stelle Gamma(n) mit Hilfe von Gamma(n-1) dar, n=3,4,... Welcher Zusammenhang besteht zwischen Gamma(n) und n?

Also ich wollte die Funktion erst einmal integrieren. Vermutlich muss man Partiell ansetzen. Aber beide der 2 Ansätze vereinfachen das Integral nciht. Hat jemand einen Tipp für mich?

16.04.2010, 20:38

kiste

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Partielle Integration liefert recht schnell das Ergebnis

16.04.2010, 20:44

Student123456789

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Also es gibt ja die Folgenden Ansätze wo diese Integrale vorkommen:

$\begin{eqnarray*} \int-e^{-t} \cdot (x-1)t^{x-2} dt \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \int \frac {t^x} x \cdot(-e^{-t})dt \end{eqnarray*}$

Aber das ist doch nciht einfacher geworden. Oder das 2. Nochmal Partiell?

16.04.2010, 20:51

kiste

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Das erste schaust du dir nochmal genau an(da ist übrigens ein Vorzeichenfehler!)

16.04.2010, 22:22

Student123456789

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Also erst mal wo ist da der Vorzeichenfehler? Oder meinst du das -vorm Integral? Das hebt das eine - natürlich auf, aber das habe ich hier noch nicht berücksichtigt.

$\begin{eqnarray*} \int e^{-t}\cdot t^{x-1} dt=-e^{-t}\cdot t^{x-1}+\int e^{-t}\cdot(x-1)\cdot t^{x-2}dt \end{eqnarray*}$

Aber was kann ich damit Anfangen?

16.04.2010, 22:26

kiste

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Der fordere Teil ist 0, das Integral hat ja auch Grenzen!

Und beachte:

Zitat:

stelle Gamma(n) mit Hilfe von Gamma(n-1) dar

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16.04.2010, 22:54

Student123456789

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Erst ma wie kann ich denn Zeigen, dass $\begin{eqnarray*} e^t \cdot t^{x-1} \end{eqnarray*}$ gegen Null geht, für t->unendlich?

Also Gamma von n-1 ist genau das, was in dem Integral steht, aber wie kann ich das da einfügen?

17.04.2010, 10:46

Student123456789

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Also reicht es zu Argumentieren, dass wenn ich $\begin{eqnarray*} \frac{t^{x-1}}{e^{-t}} \end{eqnarray*}$ immer weiter ableite der Nenner immer gleich bleibt, und im Zähler die Potenz erniedrigt wird?

So zu dem Integral da habe ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! e^{-t} \cdot t^{x-1} \, dt = (x-1)\cdot \int_0^\infty \! e^{-t}\cdot t^{x-2} \, dt \end{eqnarray*}$

17.04.2010, 11:17

gonnabphd

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$\begin{eqnarray*} e^t \cdot t^{x-1} \overset{t \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \infty \end{eqnarray*}$ Schau nochmal genauer hin.

17.04.2010, 13:34

Student123456789

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oben das war nen Tippfehler e^(-t) muss es heißen.

17.04.2010, 14:19

gonnabphd

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Ich dachte nur, weil du im nächsten Post wieder $\begin{eqnarray*} \frac{t^{x-1}}{e^{-t}} \end{eqnarray*}$ geschrieben hast...

Falls du mit deinem Vorgehen die Regel von l'Hospital meinst, dann kannst du diese benutzen, ja.

17.04.2010, 14:22

Student123456789

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das Problem ist eben, dass ich da ableiten kann, bis ich sterbe, da der Zähler ja nie auf eine Konstante kommen wird ;-).

18.04.2010, 02:05

gonnabphd

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Vielleicht sind aber die Vorraussetzungen für l'Hospital ja irgendwann nicht mehr erfüllt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oder man könnte an eine Abschätzung nach oben denken.

18.04.2010, 09:29

Student123456789

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Also erfüllt sind sie denke ich immer. Es ändert sich ja nur die Potentz und der Vorfaktor. Um nochmal zur Aufgabe zurückzukommen. ich bin jetzt hier:

$\begin{eqnarray*} [latex]\int_0^\infty \! e^{-t} \cdot t^{x-1} \, dt = (x-1)\cdot \int_0^\infty \! e^{-t}\cdot t^{x-2} \, dt \end{eqnarray*}$ [/latex]

Was muss ich jetzt noch machen?

18.04.2010, 10:35

gonnabphd

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Zitat:

Also erfüllt sind sie denke ich immer.

Nö, das siehst du falsch.

Du hast jetzt (bzw. nachdem du das mit dem Grenzwert gezeigt hast):

$\begin{eqnarray*} \Gamma(x)=(x - 1) \Gamma (x-1) \end{eqnarray*}$

Also die Funktionalgleichung der Gammafunktion.

Weiss allerdings nicht so viel über die Gammafunktion bzw. was du überhaupt zeigen sollst...
Wollte eigentlich nur was zu dem Grenzwert sagen.

18.04.2010, 10:53

Student123456789

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Kannst du mir das nochmal erläutern, warum es nciht immer erfüllt ist?

18.04.2010, 12:49

Mystic

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Zitat:

Original von Student123456789
das Problem ist eben, dass ich da ableiten kann, bis ich sterbe, da der Zähler ja nie auf eine Konstante kommen wird ;-).

Was für eine überaus seltsame Logik... verwirrt

verwirrt

Berechne doch beispielsweise mal

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac {t^{1/2}}{e^t} \end{eqnarray*}$

mit der Regel von l'Hospital...

Kommst du da im Zähler auf eine Konstante? Antwort: Nein. Ist das ein Problem bei der Berechnung des Grenzwerts? Antwort: Ebenfalls nein.

18.04.2010, 15:41

Student123456789

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Gut mit konkreten Zahlen kommt man irgendwann auf ein Ergebnis, nämlich, wenn der Exponent des Zählers negativ wird. Aber wie mache ich das für das allgemeine Beispiel?

18.04.2010, 16:20

Mystic

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Zitat:

Original von Student123456789
Gut mit konkreten Zahlen kommt man irgendwann auf ein Ergebnis, nämlich, wenn der Exponent des Zählers negativ wird. Aber wie mache ich das für das allgemeine Beispiel?

Hm, was für eine Frage... geschockt

geschockt

Im allgemeinen Fall ist der Exponent von t entweder von Haus aus nichtpositiv, dann kann man sofort denn Grenzwert bilden, oder man wendet vorher genügend oft die Regel von l'Hospital an, bis dies zutrifft...

Wenn ich mir den Thread bisher so ansehe, dann sorgst du dich entschieden um die falschen Dinge... Fassen wir mal kurz zusammen: $\begin{eqnarray*} \Gamma(x) \end{eqnarray*}$ ist für x>0 definiert durch

$\begin{eqnarray*} \Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \, dt \end{eqnarray*}$

und für x<0 erhält man den Wert, indem man die Funktionalgleichung

$\begin{eqnarray*} \Gamma(x) = \Gamma(x+1)/x \end{eqnarray*}$

so oft anwendet, dass man in den positiven Argumentbereich kommt... Was wirklich Sorgen macht (oder machen sollte) ist der Wert x=0 und auch für die negativen ganzen Zahlen funktioniert das Ganze, so wie oben beschrieben nicht... Wenn man sich der Stelle x=0 vorsichtig von rechts her nähert, dann sieht man, dass $\begin{eqnarray*} \Gamma(x) \end{eqnarray*}$ unbeschränkt wächst... $\begin{eqnarray*} \Gamma(x) \end{eqnarray*}$ ist also für x=0,-1,-2,-3,... nichtdefiniert bzw. hat dort Pole... Das sind die echten Probleme hier und nicht deine Scheinprobleme... Lehrer

Lehrer

18.04.2010, 16:30

Student123456789

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In der Aufgabe steht ja x>0. Nochmal zu den Scheinproblemen:

$\begin{eqnarray*} \frac{t^{x-1}}{e^{t}} \end{eqnarray*}$ Wie kann man da allgemein Zeigen, dass der Grenzwert gegen 0 geht?

Natürlich möchte ich auch die Aufgabe lösen, mir kommt es eben aber auch auf die Kleinigkeiten an.

18.04.2010, 16:54

Mystic

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Zunächst einmal ist $\begin{eqnarray*} \Gamma(x) \end{eqnarray*}$ in der von mir beschriebenen Weise für alle reellen Zahlen definiert mit Ausnahme eben der nichtpositiven ganzen Zahlen... Nur die Integraldefinition funktioniert nur für x>0, weshalb man für andere x auf die Funktionalgleichung zurückgreifen muss... Aber egal, wenn ihr das nicht braucht, dann vergiss es einfach wieder...

Zu deiner Frage würde ich dir empfehlen, einfach einmal zwei Beispiele zu rechnen:

1. $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac{t^3}{e^t} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac{t^{1.4}}{e^t} \end{eqnarray*}$

Für die erste Aufgabe musst den l'Hospital 3 mal anwenden und kannst dann den Grenzübergang durchführen, für die zweite 2 mal... Das sollte dann eigentlich deine Frage (hoffentlich!) beantworten, auch was den allgemeinen Fall betrifft...

18.04.2010, 16:59

Student123456789

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Also für konkrete Zahlen ist mir das mit dem Grenzwert klar. Aber wenn ich $\begin{eqnarray*} t^{x-1} \end{eqnarray*}$ n mal Ableite komme ich ja auf $\begin{eqnarray*} t^{x-(n+1)} \end{eqnarray*}$ Daraus kann ich doch noch keine Schlussfolgerung machen.

18.04.2010, 17:00

kiste

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Du könntest es ja $\begin{eqnarray*} \lceil x-1 \rceil \end{eqnarray*}$ -oft mal ableiten...

18.04.2010, 17:08

Student123456789

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Das ist klar, aber wie formuliere ich da Mathematisch exakt das Ergebnis für diesen Fall? Reicht es, dass man da schreibt, dass der Exponent irgendwann mal <=0 sein muss? Oder kann man das ganz Mathematisch begründen? Das hatte ich ja ein paar Beiträge vorher schon angedeutet.

18.04.2010, 17:30

Mystic

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Zitat:

Original von Student123456789
Reicht es, dass man da schreibt, dass der Exponent irgendwann mal <=0 sein muss?

Ja.

Zitat:

Original von Student123456789
Oder kann man das ganz Mathematisch begründen? Das hatte ich ja ein paar Beiträge vorher schon angedeutet.

Begründen heißt in der Mathematik, dass man etwas auf etwas schon Bewiesenes bzw. auf etwas zurückführt, das noch unmttelbar einsichtiger ist... Das ist aber hier m.E. einfach nicht möglich... Jeder Versuch, da etwas über das bereits Gesagte hinaus "ausformalisieren" zu wollen, würde alles nur undurchsichtiger machen und die einfache Grundidee verscheiern und wäre somit in diesem Sinne echt kontraproduktiv...

18.04.2010, 17:34

Student123456789

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Ok gut dann zurück zur Aufgabe. Hie war ich:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! e^{-t} \cdot t^{x-1} \, dt = (x-1)\cdot \int_0^\infty \! e^{-t}\cdot t^{x-2} \, dt \end{eqnarray*}$

Was muss jetzt noch gezeigt werden laut Aufgabenstellung?

18.04.2010, 17:46

Mystic

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Meiner Meinung nach besteht die Aufgabe darin eine Rekursion für die Folge $\begin{eqnarray*} \Gamma(n), \ n=1,2,3,... \end{eqnarray*}$ aufzustellen und diese zu lösen... Dazu solltest du

1. $\begin{eqnarray*} \Gamma(1) \end{eqnarray*}$ berechnen.
2. Den Wert von $\begin{eqnarray*} \Gamma(n) \end{eqnarray*}$ auf "frühere" Werte der Folge zurückführen, d.h., eine Rekursion aufstellen.
3. Mit Hilfe von 1. und 2. eine explizite Darstellung von $\begin{eqnarray*} \Gamma(n) \end{eqnarray*}$ als Funktion von n berechnen.

Einige Vorarbeiten dazu wurden ja hier schon geleistet, anderes ist nicht einmal in Ansätzen noch vorhanden...

18.04.2010, 18:04

Student123456789

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Gut aber der Ansatz mit dem Integral war grundsätzlich richtig, oder? Anders kann ich ja $\begin{eqnarray*} \Gamma(1) \end{eqnarray*}$ gar nciht berechnen. Aber da komme ich doch für Gamma(1) auf 0. Ist das richtig? Weil ich habe ja (x-1)...

18.04.2010, 18:08

Mystic

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Zitat:

Original von Student123456789
Gut aber der Ansatz mit dem Integral war grundsätzlich richtig, oder? Anders kann ich ja $\begin{eqnarray*} \Gamma(1) \end{eqnarray*}$ gar nciht berechnen. Aber da komme ich doch für Gamma(1) auf 0. Ist das richtig? Weil ich habe ja (x-1)...

Wie kommst du über die Integraldefinition auf $\begin{eqnarray*} \Gamma(1)=0 \end{eqnarray*}$ ? Kann das einmal vorrechnen?

18.04.2010, 18:11

Student123456789

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Ich hatte ja das Integral berechnet:

$\begin{eqnarray*} (x-1)\cdot \int_0^\infty \! e^{-t}\cdot t^{x-2} \, dt \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich da für x 1 einsetze kommt doch eine 0 vor dem Integral. Oder kann man das nciht so machen?

18.04.2010, 18:14

Mystic

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Oh Gott, du bist echt ein harnäckiger Fall... geschockt

geschockt

Du musst natürlich in das Originalintegral einsetzen und in nichts anderes...

18.04.2010, 18:18

Student123456789

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Tut mir leid, wenn ich da gerade nciht mehr so durchblicke. Aber ich habe doch das original Integral, was gegeben war berechnet mit:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! e^{-t} \cdot t^{x-1} \, dt = (x-1)\cdot \int_0^\infty \! e^{-t}\cdot t^{x-2} \, dt \end{eqnarray*}$ was ist daran falsch?

18.04.2010, 18:26

Mystic

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Ne, das "Originalintegral" steht auf der linken Seite dieser Gleichung, die rechte Seite macht für x=1 überhaupt keinen Sinn (man hätte da sowas ähnliches wie $\begin{eqnarray*} 0 \cdot \infty \end{eqnarray*}$ )...

18.04.2010, 18:35

Student123456789

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Gut da komme ich für 1 und 2 auf 1.

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