Mengengleichheit? |
| 17.04.2010, 10:12 | Tanii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Mengengleichheit? Hallo, wüsste gerne, ob man folgendes behaupten kann: (A \cap B)°= A° \cap B° , dabei soll es sich bei A und B um Teilmengen eines metrischen raumes (X,d) handeln. Meine Ideen: Habe mir das mal aufgemalt in Mnegen(kreisen) und demnach müsste es ja eigentlich hinkommen. |
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| 17.04.2010, 10:23 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, die Behauptung ist korrekt: Tipps zu "=>" Tipps zu "<=" natürlich nur falls du die Antwort noch nicht gelesen hattest ... 
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| 17.04.2010, 10:48 | Tanii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke dir erstmal - die Lösung hatte ich (kein Leider - ich wills ja selber schaffen!!!) noch nicht gelesen. Also das die Behauptung stimmt ist ja schonmal sehr schön, aber stimmt schon, dann muss ich es auch beweisen. Aber müsste ich deine Tipps , besonders für die erste Richtung nicht auch erstmal beweesien, auch die zweite von den beiden. I h weiß ja noch garnicht, dass die gilt 
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| 17.04.2010, 11:11 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, dann starte mal einen Versuch und ich helf dir dann, wenn du stecken bleibst. Du fängst (um den zweiten Tipp zu => zu beweisen) am besten so an, dass du die eine Inklusion und dann die andere Inklusion zeigst. Also wenn x in (A° cap B°) ist, dann ist x auch in (A° cap B°)° und wenn x in (A° cap B°)° ist, dann ist x auch in (A° cap B°). Damit wäre dann gezeigt, dass die beiden Mengen gleich sind. ps.: stammt das aus einer Topologievorlesung? Bzw. besuchst du eine solche? |
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| 17.04.2010, 12:05 | Tanii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, mir ist der eine Schluss der Hinrichtung noch nicht klar, aber das habe ich ir bisher überlegt: <= x ist in (A° cap B°)° , also existiert eine Umgebung U von unserem x, sodass U Teilmenge von x in (A° cap B°), da die Teilemnge auch x in (A° cap B°) selber sein kann, impliziert dies, dass x in jedem Fall auch Element von x in (A° cap B°) ist! => x ist diesmal in (A° cap B°), also ist x in A° und in B° Jetzt müsste man ja irgendwei begründen, dasss das Innere des Inneren, wieder das Innere ist, aber da weiß ich nicht wie!? Ich mien vora llem mathematisch... P.S. Ne ich besuche leider keine Topologie-Vl, sondern es handelt sich bei meiner aktuellen Vl um Ana 2, ich beschäftige mich aber gerade ganz gerne mit dieser Art Aufgabe, weil ich anfange sie zu verstehen und wir einige zusätzliche Übungen zu dem Thema haben. Diese Aufgabe stammt also aus AnaII |
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| 17.04.2010, 12:25 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie ist das Innere einer Menge denn definiert? 
Edit: übrigens ist (A° cap B°)° als Inneres von (A° cap B°) schon definitionsgemäss eine Teilmenge. Also hast du da wohl einen kleinen Umweg genommen.
Edit2: Obwohl...
so wie das dasteht, stimmt's nicht. Gib mir doch auch gleich noch die Definition einer Umgebung mit... |
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| 17.04.2010, 13:03 | Tanii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Innere haben wir wie folgt definert: A°={p in A: E r>0: K_r (p) Teilmenge von M} Zur Umbebung haben wir uns bl´ß naufgeschrieben, dass wenn p aus dem Inneren ist, dass der inneree Punktann p der innere Punkt von M ist und M eine Umgebung von p. Und vielleicht war meine Formulierung nur doof: U Teilmenge von x in (A° cap B°), da die Teilemnge auch x in (A° cap B°) selber sein kann Ich meinte: U ist eine Teilmneg von (A° cap B°), also liegt x in (A° cap B°) |
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| 17.04.2010, 13:22 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, ok, in dem Falle sind wir in einem metrischen Raum. Also kannst du einfach Umgebung durch offene Kugel ersetzen (denn jede offene Kugel um x ist eine Umgebung von x und jede Umgebung von x hat eine Kugel um x im Inneren; das ist definitionsgemäss so). Weiterhin A°={p in A: E r>0: K_r (p) Teilmenge von M} daraus folgt direkt, dass sein muss. (siehe auch Edit oben) Ok, mit deiner Korrektur ist aber auch die von dir vorgeschlagene Hinrichtung in Ordnung. Du kannst jetzt mal weitermachen mit:
der nächste Schritt, ist die Definition zu benutzen. Zeige anschliessend, dass es eine Kugel um x in (A° cap B°) gibt. Damit ist dann gezeigt, dass x in (A° cap B°)° liegt. |
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| 17.04.2010, 13:30 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bin dann mal weg. Eigentlich reichen die Tipps nun für die ganze Aufgabe. Der Rest funktioniert alles praktisch gleich. Spiel einfach ein wenig mit den Mengen rum, und benutze die Definition vom Inneren; das reicht schon. Am Anfang geht's halt ne Weile bis man's sieht, aber da muss sich jeder mal durchbeissen. 
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| 17.04.2010, 14:42 | Tanii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht habe ich jetzt zumindest den Teil: x ist diesmal in (A° cap B°), also ist x in A° und in B° , also: x in A: E r>0 K_r(x) Teilmenge A und x in B: E r>0 K_r(x) Teilmenge B Also: x in Durchschnitt A und B: E r>0 K_r(x) Teilmenge A durchschnitt B und da A° Teilmenge A und B° Teilmenge B gilt: x in Durchschnitt A° und B°: E r>0 K_r(x) Teilmenge A° durchschnitt B° Also: x ist in (A° Durchschnitt B°)° Ich hoffe, dass man das so einafch machen kann - ich werde mich jetzt einafch mal um den Rset kümmern und gucken ob du noch die nächsten tage was dazu sagst!! Vielen Dank dir! |
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| 18.04.2010, 22:46 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, ich schätze du hast verstanden wie's geht. Aber wie du das aufschreibst ist einfach furchtbar! 
Du hast insgesamt vier mal "r" verschieden definiert... Und übrigens hast du nicht begründet, warum
Formal korrekt, wäre es ein r zu definieren so dass , dann r' definieren, so dass . Und nun setzt man R := .....?, so dass gilt . |
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