zweidim. Integral

25.10.2006, 22:46	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
zweidim. Integral Hi... ich hab ne Aufgabe da wird die Ausflußmenge pro Sekunde bei stationärer Strömung durch folgendes Integral beschrieben: $\begin{eqnarray} Q = \sqrt{2x} \int \int _{\Omega} \sqrt{y} dx dy \end{eqnarray}$ wobei g = 981cm/s² Jetzt ist Omega ein Trapez mit folgenden Eckpunkten: $\begin{eqnarray} (-\frac{b}{2},c) ; (\frac{b}{2},c) ; (-\frac{a}{2},c+k) ; (\frac{a}{2},c+k) \end{eqnarray}$ mit a = 8cm, b = 3cm , c = 4cm und k = 5cm. Ich hab jetzt als Ergebnis raus: $\begin{eqnarray} Q = \sqrt{2g} \frac{2278}{45} \approx 2242,3 \end{eqnarray}$ 1. stimmt das? 2. welche Einheit hat Q?
26.10.2006, 01:07	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme an, du meinst oben auch $\begin{eqnarray} \sqrt{2g} \end{eqnarray}$ . Ich hab für das Integral $\begin{eqnarray} \frac{1076}{15} \end{eqnarray}$ raus. Wie kommst du denn auf dein Ergebnis? Gruß MSS
26.10.2006, 09:40	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
ja oben soll auch 2g hin... ich hab das ganze skizziert und dann quasi nur das Integral über das halbe Trapez berechnet, denn das Integral hängt ja nicht von x ab. Das halbe Trapez beschreibt sich wie folgt: $\begin{eqnarray} -\frac{3}{2} < x < 0 ~~~~~~ \|\|~~~~~~ -4 < x < -\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4 < y < 9 ~~~~~~ \|\| ~~~~~~ -2x+1 < y < 9 \end{eqnarray}$ die Geradengleichung als untere Begrenzung für y hab ich durch die Punkte (-4 , 9) und (-3/2 , 4) aufgestellt. Also hab ich $\begin{eqnarray} \int \int _{\Omega} \sqrt{y} dx dy = 2 \left ( \int_{-\frac{3}{2}}^{0} \left ( \int_4^9 ~ \sqrt{y} ~ dy \right ) dx + \int_{-4}^{-\frac{3}{2}} \left ( \int_{-2x + 1}^9 ~ \sqrt{y} ~ dy \right ) dx \right ) = 2 \left ( \int_{-\frac{3}{2}}^{0} \left ( \left [ \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}\right ]_4^9 \right ) dx + \int_{-4}^{-\frac{3}{2}} \left ( \left [ \frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}} \right ]_{-2x + 1}^9\right ) dx \right ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 2 \left ( \left [ \frac{38}{3}x\right ]_{-\frac{2}{3}}^0 + \left [ 18x + \frac{2}{15}(-2x+1)^{\frac{5}{2}}\right ]_{-4}^{-\frac{3}{2}}\right ) = 2 \left( \left [\frac{76}{9} \right ] + \left[ -27 + \frac{2}{15} \cdot 32 \right ] - \left[ -72 + \frac{2}{15} \cdot 243 \right ]\right ) = \frac{2278}{45} \end{eqnarray}$
26.10.2006, 18:43	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Fehler liegt in der zweiten Zeile ganz am Anfang. Da müsste $\begin{eqnarray} \left[\frac{38}{3}x\right]_{-\frac{3}{2}}^0 \end{eqnarray}$ stehen, dann kommt auch das Richtige raus! Im Übrigen wäre die umgekehrte Berechnung evtl. etwas einfacher: $\begin{eqnarray} \int\limits_4^9~\int\limits_{\frac{1-y}{2}}^{\frac{1+y}{2}}~\sqrt{y}~\mathrm dx~\mathrm dy \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
26.10.2006, 21:46	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
ah - schusselfehler - danke fürs fehlersuchen

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