Lagrange Interpolation

17.04.2010, 11:51

Kingkok

Lagrange Interpolation

Meine Frage:
Hallo,
es gibt zwar schon einige Themen zur Lagrange Interpolation, aber ich werd aus dem ganzen nicht schlau. Ich soll ein f(3) finden wenn ich folgendes habe:
f(1)=2
f(2)=11
f(3)=?
f(4)=77

Meine Ideen:
Nun muss ich ja das Polynom aufstellen aus:

$\begin{eqnarray*} p(x)=\sum\limits_{i=1}^n y_{i} L_{i} (x) \end{eqnarray*}$

und das L kommt aus
$\begin{eqnarray*} L_{i} (x)= \frac{(x-x_{0}) (x-x_{1}) }{(x_{i}-x_{0})(x_{i}-x_{1})} .... \end{eqnarray*}$

was für x setzte ich da ein? Ich versteh das nicht

17.04.2010, 12:59

tigerbine

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RE: Lagrange Interpolation
Hallo,

ich werde aus deiner Angabe nicht schlau. Welchen Grad soll das IP haben? Sonst können wir den Punkt doch dar nicht bestimmen. Es könnte auch helfen, die Aufgabe im OText einzustellen.

Gruß Wink

17.04.2010, 13:11

Kingkok

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danke für die Antwort

Aufgabe: Find f(3), using Lagranges method and f(1)=2, f(2)=11, f(4)=77

das ist alles was da steht. Ich kann aber auch mal die Lösung reinschreiben. Vlt kannst du mir dann erklären wie man darauf kommt

$\begin{eqnarray*} f(x)=2 \frac{1}{3} (x-2)(x-4) - 11 \frac{1}{2} (x-1)(x-2) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f(3)=36 \end{eqnarray*}$

17.04.2010, 13:13

tigerbine

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Die Lösung wird dann sein, dass wir den Grad des Polynoms festlegen. Bei 3 gegebenen Punkten ist da Maximal Grad 2 möglich. Also berechne mit Lagrange

Zitat:

f(1)=2, f(2)=11, f(4)=77

edit: Deine Lösung kann so nicht vollständig sein. Es müssen in der Lagrangedarstellung 3 Summanden auftreten. Den Funltionswert f(3)=36 kann ich aber bestätigen.

Wie die Berechnungen gemacht wurden, kannst du in [WS] Polynominterpolation - Theorie nachlesen.

code:

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84:

>> Polynominterpolation
 
Es wird ein Interpolationspolynom in 3 Darstellungen berechnet.
 
Beachte: Der Datensatz hat die Form
         Knoten:           x_0,...,x_n
         Funktionswerte:   y_0,...,y_n
 
Bitte die Daten homogen eingeben!
 
Knotenpunkte eingeben:   [1,2,4]
Funktionswerte eingeben: [2,11,77]
 
--------------------------------------------------------------------------------------------
 
Lagrange-Darstellung  
===============================================================================================
                               [x - 2] [x - 4] 
y_ 0 * L_ 0(x) =      2 *    -------------------------------------------------------------------
                               [1 - 2] [1 - 4] 

                      2
               =   -----------  *  [x - 2] [x - 4] 
                      3


                               [x - 1] [x - 4] 
y_ 1 * L_ 1(x) =     11 *    -------------------------------------------------------------------
                               [2 - 1] [2 - 4] 

                     11
               =   -----------  *  [x - 1] [x - 4] 
                     -2


                               [x - 1] [x - 2] 
y_ 2 * L_ 2(x) =     77 *    -------------------------------------------------------------------
                               [4 - 1] [4 - 2] 

                     77
               =   -----------  *  [x - 1] [x - 2] 
                      6


 
Weiter mit beliebiger Taste
 
Newton-Darstellung  
===============================================================================================
 
Dividierte Differenzen Schema
-----------------------------
 

DD =

     1     2     9     8
     2    11    33     0
     4    77     0     0

 
Interpolationspolynom
---------------------
 
p_ 2(x)= 
 
         +    2 
         +    9 * [x - 1]   
         +    8 * [x - 1] [x - 2]   
 
Weiter mit beliebiger Taste
 
Monom-Darstellung  
===============================================================================================
 
p_ 2(x)= 
 
     + 9 * x^0     - 15 * x^1     + 8 * x^2 
 
Vergleichsfunktion eingeben? (0=ja, 1=nein) 1
Polynom an einer Stelle auswerten? (0=ja 1=nein)0
Auszuwertende Stelle eingeben: 3
 
p^(0)_2(3)=       36

17.04.2010, 13:48

Kingkok

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danke, ich denke das habe ich verstanden

17.04.2010, 17:01

Mystic

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Zitat:

Original von tigerbine
Wie die Berechnungen gemacht wurden, kannst du in [WS] Polynominterpolation - Theorie nachlesen.

Wobei man sagen muss, dass die Newtonsche Methode der von Lagrange aus algorithmischer Sicht so "haushoch" überlegen ist, dass man sich wirklich wundern muss, dass manche trotzdem letztere nehmen, wenn sie die Auswahl haben (was ja hier nicht der Fall ist!)...

Interessanterweise tritt dieser Gegensatz noch ein zweites Mal in der Zahlentheorie auf, und zwar im Zusammenhang mit der Lösung eines Kongruenzensystems nach dem Chinesischen Restsatz... Auch hier gibt es zwei verschieden Ansätze, die ziemlich genau denen von Lagrange bzw. Newton für die Interpolation entsprechen, auch hier ist der "Newtonsche Ansatz", wenn ich das mal so nennen darf, dem anderen aus algorithmischer Sicht klar überlegen, trotzdem kommt er in vielen Zahlentheorie Büchern nicht einmal vor... geschockt

17.04.2010, 18:01

tigerbine

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Hierzu vielleicht ein interessantes PDF. Siehe hier im Thread: Lagrange Polynom vs. baryzentrische Darstellung

Gruß Wink

17.04.2010, 19:01

Mystic

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Ja, wenngleich sich meine obigen Ausführungen auf die Lagrange Methode in "Originalform" bezogen, ist die Verwendung der baryzentrischen Darstellung eine sehr interessante, in gewissen Fällen (wie im Link ausgeführt) sogar überlegene Modifikation...Wundert mich unter diesen Umständen nur, dass sie relativ wenig bekannt ist...

17.04.2010, 19:52

tigerbine

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Liegt imho vielleicht daran, dass man Lagrange in der Theorie erst mal für den Existenzbeweis nimmt. Geht damit doch sehr schön. Ferner nutzt man diese Darstellung noch für die num. Integration. Für die weite IP wird man wie du es geschrieben hast vorgehen.

Für genauere Begründung müßten wir wohl bei den Autoren der Standard Numerik Bücher nachfragen. Lesen2

Gruß

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