Integral und Fkt Aussehen

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Thorsten... Auf diesen Beitrag antworten »
Integral und Fkt Aussehen
Hallo,

ich möchte folgende Funktion Integrieren: . Und wie kann ich sehen, dass die Funktion eher wie eine Parabel, als eine Wurzelfunktion aussieht. Beim Integrieren sehe ich leider keinen Ansatz.
DOZ ZOLE Auf diesen Beitrag antworten »

deine funktion ist eine verkettung von wurzelfkt und einer quadratiischen. wie intergriert man oft verkettungen?
Thorsten... Auf diesen Beitrag antworten »

vermutlich über Substitution. Aber wenn ich die innere Fkt ableite habe ich ja immer noch x drinne.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp zum Integrieren:



Siehst du nun eine geeignete Substitution?

Beim Aussehen hilft vielleicht, dass man sofort sieht, dass die Funktion achsensymmetrisch ist und ihr Minimum bei x=0 hat, weil x² im Reellen nicht negativ werden kann.
Thorsten... Auf diesen Beitrag antworten »

Also da sehe ich ja aber immer noch nciht, ob die Funktion rechts oder links gekrümmt ist. Den Satz mit dem Cosh etc. kenne ich. Aber wo steckt der in dem Beispiel drinnen?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thorsten...
Aber wo steckt der in dem Beispiel drinnen?

Unter der Wurzel. Substituiere doch mal

 
 
Thorsten... Auf diesen Beitrag antworten »

Ah da müsste dann am ende Cosh(u) übrig bleiben. Nur wie macht man das formal? Mit einem Ausruck habe ich noch nie substituiert. wenn ich einen Ausdruck durch eine Variable ersetze geht das ja so:


und dann in dx einsetzen. Aber wie macht man da in diesem Fall? Wo ist da mein du?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so geht es hier auch:





Und dann stur einsetzen.
Thorsten... Auf diesen Beitrag antworten »

Also integriert:



rücksubstituiert:


stimmt das?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Nun mal Schritt für Schritt, was für ein Integral hast du nach der Substitution erhalten? Und wie bist du dann vorgegangen?
Thorsten... Auf diesen Beitrag antworten »






WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich sinh*cosh ableite erhalte ich cosh² + sinh². Und das ist NICHT cosh². Sprich: Deine Substitution ist korrekt. Deine Stammfunktion nicht. Für eine Stammfunktion von cosh² verwende partielle Integration und danach nochmals die Identität 1 + sinh² = cosh².
Thorsten... Auf diesen Beitrag antworten »

Also Partiell habe ich jetzt angesetzt:



Aber wo kann ich denn jetzt hier den Satz anwenden?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Das, was du da gemacht hast, bringt doch überhaupt nichts. Du machst es ja nur noch komplizierter.



Jetzt wähle f=cosh(u) und g'=cosh(u)
Thorsten... Auf diesen Beitrag antworten »

also nochmal von vorne:




Thorsten... Auf diesen Beitrag antworten »

Gut das scheint zu stimmen auch nach Rücksubstitution. Dazu mal 2 Fragen erst mal woher weiß man, dass

Und ich soll von der Funktion das Inegral in den Grenzen -1 und 1 bestimmen. Als Lösung wird angegeben:



Gibt es evtl noch einen einfacheren Weg? Also einen, wo man auf den ln kommt?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zu Frage 1: Auch wieder nur über die Beziehung



Damit findet man



Zu Frage 2: Dir scheinen einige hierbei wichtige Dinge über die hyperbolischen Funktionen nicht so geläufig zu sein. Es gelten beispielsweise die folgenden Identitäten:



Wenn du damit ein bisschen rumspielst, dann kriegst du auch das bestimmte Integral wohl hin. Man hätte natürlich auch anstelle der partiellen Integration den cosh auf diese Weise umschreiben können. Dann hätte man ausmultipliziert und hätte nur noch die e-Funktionen integrieren müssen (was auch sehr leicht gewesen wäre). Kommt letztendlich beides auf das Gleiche raus.
Thorsten... Auf diesen Beitrag antworten »

Ah danke. Ziel war es übrigens die Bogenlänge von zu berechnen. Ich hoffe ich habe mir das Ganze nicht unnötig kompliziert gemacht.
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