Untergruppen

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25.10.2006, 23:09	Eldred	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen Hi, ich habe eine Problem mit folgender Aufgabe: Sei G Gruppe sowie U,V Untergruppen von G zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} #U und #V endlich<br /> \Rightarrow #(UV) \cdot #(U \cap V) = #U \cdot #V \end{eqnarray}$ Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} #(U \cap V) \end{eqnarray}$ ebenfalls eine Gruppe ist und das $\begin{eqnarray} #U \|#(U \cap V) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} #V \|#(U \cap V) \end{eqnarray}$ , ein Ansatz einen Isomorphismus etwa von $\begin{eqnarray} U / (U \cap V) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} UV / V \end{eqnarray}$ zu erstellen scheiterte leider schon daran, dass UV i.A. keine Gruppe ist. Vielleicht könnt ihr mir dabei ja weiterhelfen.
25.10.2006, 23:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppen Bitte editieren
25.10.2006, 23:13	Eldred	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppen Sei G Gruppe sowie U,V Untergruppen von G zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} \|U\| und \|V\| endlich<br /> \Rightarrow \|(UV)\| \cdot \|(U \cap V)\| = \|U\| \cdot \|V\| \end{eqnarray}$ Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} \|(U \cap V)\| \end{eqnarray}$ ebenfalls eine Gruppe ist und das $\begin{eqnarray} \|U\| \| \|U \cap V\| \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \|V\| \| \|(U \cap V)\| \end{eqnarray}$ , ein Ansatz einen Isomorphismus etwa von $\begin{eqnarray} U / (U \cap V) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} UV / V \end{eqnarray}$ zu erstellen scheiterte leider schon daran, dass UV i.A. keine Gruppe ist. Vlt lags ja am # hab mal \|.\| für die Anzahl der Elemente genommen^^
25.10.2006, 23:19	Eldred	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmpf sollte wohl mal Latex lernen, naja also dieses <br/> gehört da nicht hin und die Anzahl der Elemente von (U geschnitten V) ist auch nicht gemeint sondern natürlich nur (U geschnitten V) ist Untergruppe.
25.10.2006, 23:20	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
das >br/> kommt, weil du ENTEr gedrückt hast
26.10.2006, 21:36	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Das interessiert mich auch, weiß da keiner weiter? mfG 20
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26.10.2006, 22:08	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn $\begin{eqnarray} UV \end{eqnarray}$ ? Gruß MSS
27.10.2006, 21:31	Eldred	Auf diesen Beitrag antworten »
UV := {u*v \| u aus U und v aus V}
27.10.2006, 22:08	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis ist etwas trickreich. $\begin{eqnarray} UV \end{eqnarray}$ lässt sich als Vereinigung derjenigen Linksnebenklassen von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ schreiben, die einen Repräsentanten in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ haben. $\begin{eqnarray} UV = \bigcup_{u\in U}~uV \end{eqnarray}$ Desswegen gilt $\begin{eqnarray} \left \| UV \right \| = \left \| V \right \| \cdot \left \|\{uV : u \in U\} \right \| \end{eqnarray}$ Jetzt zeigt man, das die Zuordnung $\begin{eqnarray} uV \mapsto u(U\cap V) \end{eqnarray}$ eine Bijektion von der Menge $\begin{eqnarray} \{uV : u\in U\} \end{eqnarray}$ auf die Menge $\begin{eqnarray} \{u(U\cap V\} : u\in U\} \end{eqnarray}$ der Linksnebenklassen von $\begin{eqnarray} U\cap V \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ist. Das schreibe ich jetzt mal nicht hin =) Nach Lagrange ist $\begin{eqnarray} \| U : (U\cap V)\| = \frac{\|U\|}{\|U\cap V\|} \end{eqnarray}$ Mit dem Beweis der Bijektivität der Zuordnung folgt jetzt $\begin{eqnarray} \|\{uV : u \in U\}\| = \frac{\|U\|}{\|U\cap V\|} \end{eqnarray}$

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