einfache DGL mit Picard-Lindelöf

17.04.2010, 14:21	Kranich	Auf diesen Beitrag antworten »
einfache DGL mit Picard-Lindelöf Hallo alle miteinander, ich habe folgende Aufgabe zu lösen: "Bestimmen Sie eine Näherungslösung der Anfangswertaufgabe $\begin{eqnarray} y'=x+2y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y(0)=1 \end{eqnarray}$ mit Hilfe der Picard-Iteration mit $\begin{eqnarray} y_0(x)&=1 \end{eqnarray}$ ." Nun habe ich das ganze Verfahren soweit verstanden und habe die Iteration bis $\begin{eqnarray} y_4 \end{eqnarray}$ ausgeführt. Dafür erhalte ich: $\begin{eqnarray} y_4(x)&=1+2x+\frac{5}{2}x^2+\frac{5}{3}x^3+\frac{5}{6}x^4+\frac{1}{12}x^5 \end{eqnarray}$ Nun erstmal meine Frage, ob es bis dahin überhaupt richtig ist. Wenn ja bleibt jedoch mein Problem, dass ich die Potenzreihe nicht explizit darstellen kann. Kann mir da jemand Hinweise geben? Danke bereits im Voraus!
17.04.2010, 14:39	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Scheint soweit zu stimmen, was du berechnet hast. Wenn du nur eine Näherungslösung berechnen sollst, hast du die Aufgabe doch eigentlich bereits erledigt? Ansonsten: Berechne doch mal die exakte Lösung der Differentialgleichung, dann findet sich auch leichter eine entsprechende Reihendarstellung.
17.04.2010, 14:47	Kranich	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL mit Picard-Lindelöf Hey, danke schonmal für die Bestätigung! Ich war mir unsicher, da ja prinzipiell auch eine explizite Reihendarstellung mithilfe von Picard nur eine Näherungslösung ist,ich dachte, dass diese Darstellung gesucht ist. Allerdings ist natürlich auch das obige Polynom eine Näherungslösung, Frage ist da wohl eher, wie genau diese Näherungslösung sein muss... Wenn jemand dahinter die Formel zur Berechnung der Koeffizienten erkennt, wäre es nett, wenn er mir die noch nennen würde, ansonsten werde ich es einfach bei der obigen Lösung belassen. Danke
17.04.2010, 15:14	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Nunja, die Lösung ist ja $\begin{eqnarray} y(x) = - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} x + e^{2x} \cdot \frac{5}{4} \end{eqnarray}$ Das kannst du natürlich als Reihe schreiben: $\begin{eqnarray} y(x) = - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} x + \frac{5}{4} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} \end{eqnarray}$ Wenn du jetzt z.B. nur die ersten 5 Glieder der Exponentialreihe aufaddierst: $\begin{eqnarray} y_4(x) = - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} x + \frac{5}{4} \cdot \left( 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3} x^3 + \frac{2}{3} x^4 + \frac{4}{15}x^5 \right) = 1 + 2x + \frac{5}{2} x^2 + \frac{5}{3} x^3 + \frac{5}{6} x^4 + \frac{1}{3} x^5 \end{eqnarray}$ also so ähnlich, nur im letzten Glied stimmt's nicht mit der Näherung überein, weil sich dort ja der Koeffizient bei der nächsten Iteration nochmal verändert. Aber ein allgemeiner Korrekturterm fällt mir gerade auch nicht ein...
17.04.2010, 15:23	Kranich	Auf diesen Beitrag antworten »
.. Hey, vielen Dank dafür. Ich belasse es einfach bei obiger Näherung $\begin{eqnarray} y_4 \end{eqnarray}$ und damit sollte es auch ausreichend gelöst sein. Ich bedanke mich vielmals für deine Tipps und Hilfen. Liebe Grüße!

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