Unterraum, (schief-)symmetrische Matrizen

17.04.2010, 14:56

nube28

Unterraum, (schief-)symmetrische Matrizen

Hallo

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

V ist der Vektorraum aller reellen nxn Matrizen

$\begin{eqnarray*} U_+=(C \in V: C^T=C) \end{eqnarray*}$ ist der Unterraum aller symmetrischen Matrizen und $\begin{eqnarray*} U_-=(C \in V: C^T=-C) \end{eqnarray*}$ der Unterraum aller schiefsymmetrischen Matrizen.

Ich soll beweisen: $\begin{eqnarray*} V=U_+ \oplus U_- \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} U_+^{\perp}=U_- \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_-^{\perp} = U_+ \end{eqnarray*}$

Für das erste habe ich bereits gezeigt, dass der Schnitt leer ist. Doch dann komme ich nicht weiter.
Ich weiß wenn ich ersteres zeige, dann sind die anderen beiden auch gezeigt, weil die Summe aus zwei zueinandersenkrechten Vektorräumen direkt ist. Ich könnte auch die beiden letzten zeigen, dann wäre ersteres gezeigt.

Kann mir da jemand helfen???
Danke schon mal im Vorraus

17.04.2010, 22:49

WebFritzi

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Alle drei zu beweisenden Aussagen sind äquivalent. Es reicht also, z.B. das zweite zu zeigen.

Leider fehlt uns eine wichtige Information, um dir bei dieser Aufgabe zu helfen: das zugrundeliegende Skalarprodukt. Das hättest du selber wissen müssen.

18.04.2010, 10:31

nube28

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achso das ist ja praktisch Aufgabenteil b), in a) habe ich bereits bewiesen, dass
$\begin{eqnarray*} \phi(A,B):= Spur(A*B) \end{eqnarray*}$ eine nicht ausgeartete, symmetrische Bilinearform ist.

18.04.2010, 11:18

Manus

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Zitat:

Original von nube28
achso das ist ja praktisch Aufgabenteil b), in a) habe ich bereits bewiesen, dass
$\begin{eqnarray*} \phi(A,B):= Spur(A*B) \end{eqnarray*}$ eine nicht ausgeartete, symmetrische Bilinearform ist.

Das wird kaum stimmen, da fehlt die ein " $\begin{eqnarray*} ^{tr} \end{eqnarray*}$ ".

18.04.2010, 11:36

nube28

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doch das stimmt, so steht es in meiner Aufgabe

18.04.2010, 11:48

Manus

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Oh, sorry, dachte es stünde noch pos. definit dabei. Mein Fehler.

18.04.2010, 12:33

nube28

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Kann mir damit jemand helfen????

19.04.2010, 00:01

WebFritzi

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Zitat:

Das ist ja schhön und gut. Das macht $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ aber nicht zu einem Skalarprodukt. Aber vielleicht soll es das auch gar nicht sein. Dann sind die zu zeigenden Aussagen aber auch nicht äquivalent.

Lass uns doch zuerstmal $\begin{eqnarray*} U_+^\perp = U_- \end{eqnarray*}$ zeigen. Es gilt

$\begin{eqnarray*} B\in U_+^\perp\;\Longleftrightarrow\;\forall A\in U_+ : \operatorname{spur}(AB) = 0\;\Longleftrightarrow\;\forall A\in U_+ : \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\,b_{ij}a_{ji} = 0. \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} E_{ij} \end{eqnarray*}$ wollen wir diejenige nxn-Matrix bezeichnen, deren Einträge alle Null sind außer dem an Stelle (i,j). Der soll 1 sein. Sei nun also $\begin{eqnarray*} B\in U_+^\perp. \end{eqnarray*}$ Wähle dann mal für A die Matrix $\begin{eqnarray*} E_{ij} + E_{ji} \end{eqnarray*}$ (welche in $\begin{eqnarray*} U_+ \end{eqnarray*}$ liegt). Was folgt dann für spur(BA)?

Für die Rückrichtung zeige, dass für $\begin{eqnarray*} B\in U_- \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A\in U_+ \end{eqnarray*}$ gilt: spur(AB) = -spur(AB). Dann folgt sofort spur(AB) = 0 und damit $\begin{eqnarray*} U_+\,\perp\,U_-. \end{eqnarray*}$

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