Matrizengleichung

17.04.2010, 16:46

Monjy

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Matrizengleichung

Warum ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_s \\ x_w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,2 & 0,3 \\ 0,5 & 0,1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_s \\ x_w \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} q_s \\ q_w \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gleich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_s \\ x_w \end{pmatrix} = \left[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0,2 & 0,3 \\ 0,5 & 0,1\end{pmatrix} \right]^{-1} \begin{pmatrix} q_s \\ q_w \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ??? verwirrt

verwirrt

Ich habe in meinem Leben noch keine Matrizenrechung gemacht. Nach der ersten Vorlesung bin ich noch recht unsicher mit den ganzen Regeln und Gesetzen.

Ich weiss nicht mal wie ich anfangen soll...

17.04.2010, 17:06

Airblader

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Schreiben wir es mal bequemer:

$\begin{eqnarray*} x = Ax + q \end{eqnarray*}$

Jetzt bringen wir einfach die Ax rüber:

$\begin{eqnarray*} x - Ax = q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (E-A)x = q \end{eqnarray*}$

Und sofern wir voraussetzen können, dass (E-A) invertierbar ist, multiplizieren wir dieses Inverse von links heran:

$\begin{eqnarray*} x = (E-A)^{-1} q \end{eqnarray*}$

Und dann steht es da.

air

17.04.2010, 17:30

Monjy

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was ist denn E ?

17.04.2010, 17:55

chrizke

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Die Einheistmatrix

17.04.2010, 18:12

Monjy

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warum ist
$\begin{eqnarray*} x - Ax = q \end{eqnarray*}$
gleich ?
$\begin{eqnarray*} (E-A)x = q \end{eqnarray*}$ ?

17.04.2010, 18:13

Airblader

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Das nennt man Ausklammern. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Fachterminus lautet dazu Distributivgesetz.

air

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17.04.2010, 18:14

Iorek

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} Ex \end{eqnarray*}$ ? Und dann wende mal das Distributivgesetz an.

17.04.2010, 18:21

Monjy

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laut Distributivgesetz ist $\begin{eqnarray*} x - Ax = q \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} (1-A)x = q \end{eqnarray*}$

ich weiss einfach nich was es mt dieser Einheitsmatrix auf sich hat...

17.04.2010, 18:24

Airblader

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1 ist aber eine Zahl und keine Matrix. Das haut ja mal gar nicht hin!

Im Reellen wird aus 2 - 4 ja auch nicht (Apfel - 2)*2, sondern (1-2)*2, oder nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was ist denn für dich 1-A ? "Eins minus einer Matrix" ist kein definierter Ausdruck. In der Klammer muss eine Differenz von Matrizen überbleiben.

Rechne einfach mal E*x aus. Oder E*A.
Der Kerngedanke stimmt ja bei dir. Das 'E' ist gewissermaßen die '1', denn das E ist das neutrale Element der Matrizenmultiplikation.

So wie im Reellen also x = 1*x gilt, gilt bei Matrizen A = E*A.

air

17.04.2010, 18:25

Monjy

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Zitat:

Original von Iorek
Was ist denn $\begin{eqnarray*} Ex \end{eqnarray*}$ ?

Das weiss ich ja grade nicht... traurig

traurig

17.04.2010, 18:41

Monjy

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Zitat:

Original von Airblader
1 ist aber eine Zahl und keine Matrix. Das haut ja mal gar nicht hin!

Im Reellen wird aus 2 - 4 ja auch nicht (Apfel - 2)*2, sondern (1-2)*2, oder nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was ist denn für dich 1-A ? "Eins minus einer Matrix" ist kein definierter Ausdruck. In der Klammer muss eine Differenz von Matrizen überbleiben.

Rechne einfach mal E*x aus. Oder E*A.
Der Kerngedanke stimmt ja bei dir. Das 'E' ist gewissermaßen die '1', denn das E ist das neutrale Element der Matrizenmultiplikation.

So wie im Reellen also x = 1*x gilt, gilt bei Matrizen A = E*A.

air

Okay... 1 ist keine matrix habe ich verstanden... Ich bin einfach noch sehr unsicher was
das Thema Matritzen angeht da ich heute das erste mal was davon gehört habe.

Also in meinen unterlagen habe ich jetz gefunden das eine Einheitsmatrix sowas ist :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und das $\begin{eqnarray*} A*A^{T} \end{eqnarray*}$ = E ist

so das scheint ja damit zu tun zu haben ...

17.04.2010, 18:44

Airblader

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Der wichtige Punkt ist, dass A = E*A gilt. Das ist genau das, was x=1*x in den reellen Zahlen entspricht.

Und wenn du aus x - Ax nun ausklammerst, dann hast du folgendes:

x - Ax = Ex - Ax = (E-A)x

Und dass das gilt kannst du ganz leicht nachrechnen, indem du einfach mal eine Matrix nimmst und sie mit einer Einheitsmatrix multiplizierst.

Achja: A * A^T = E ist falsch. Du meinst sicherlich A * A^(-1) = E.

air
(Im Übrigen kann es durchaus sein, dass du in der Literatur mal auf das Symbol '1' stößt, wo korrekterweise die Einheitsmatrix E gemeint ist. Das ist die Bequemlichkeit. Genau genommen ist auch 'E' schon eine Abkürzung)

17.04.2010, 18:46

Monjy

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A = A*E hab ich nicht in meinen Unterlagen gefunden ... wie heisst denn diese regel ? oder gibts dafür eine erklärung ?

17.04.2010, 18:47

Airblader

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Also jetzt wurde es dir drei Mal gesagt:

Zitat:

Und dass das gilt kannst du ganz leicht nachrechnen, indem du einfach mal eine Matrix nimmst und sie mit einer Einheitsmatrix multiplizierst.

Das kannst du ja auch ganz brav allgemein machen!

air

26.04.2010, 16:34

Monjy

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So ich nun wieder Wink

Wink

ich hoffe das entsetzen ist nicht all zu groß Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also oben die Sachen sind nun klar ... vielen Dank nochmal für die Geduld aber
wie gesagt , ich bin Anfänger ... geschockt

geschockt

Nun versuche ich das Gleichungssystem auszurechnen und hab damit trotz Musterlösung Probleme...

Schritt1:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_s \\ x_w \end{pmatrix} = \left[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0,2 & 0,3 \\ 0,5 & 0,1\end{pmatrix} \right]^{-1} \begin{pmatrix} 10^6 \\ 10^4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schritt2:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_s \\ x_w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,8 & -0,3 \\ -0,5 & 0,9 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 10^6 \\ 10^4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schritt3:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_s \\ x_w \end{pmatrix} = \frac{1}{0,57}\begin{pmatrix} 0,9 & 0,3 \\ 0,5 & 0,8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 10^6 \\ 10^4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bis hier hin ist alles klar ...
aber wie kommt man nun hier hin ?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_s \\ x_w \end{pmatrix} = \frac{1}{0,57}\begin{pmatrix} 9,03*10^6 \\ 5,08*10^4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

26.04.2010, 16:54

Airblader

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Bist du sicher, dass die letzte Zeile so dortsteht? Die Potenzen dort sind nämlich falsch!

Wie man darauf kommt: Einfach die zwei Matrizen multiplizieren.

air

26.04.2010, 16:55

Iorek

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Im Zweifelsfalle gar nicht, der Vektor den du angegeben hast ist nämlich falsch. Überprüf das bitte nochmal.

Ansonsten ist das einfach die Anwendung der Matrizenmultiplikation.

Edit: Da warst du wohl schneller böse

böse

(

Augenzwinkern

)

26.04.2010, 17:10

Monjy

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_s \\ x_w \end{pmatrix} = \frac{1}{0,57}\begin{pmatrix} 9,03*10^5 \\ 5,08*10^4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ihr habt natürlich Recht ...
so ist es richtig ... kapier das trotzdem nicht so wirklich ...

26.04.2010, 18:08

Airblader

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Die zweite Potenz ist aber immer noch falsch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was genau verstehst du denn nicht? Wie man Matrizen multipliziert?

air

26.04.2010, 21:58

Monjy

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ne hat sich erledigt ... die musterlösung ist falsch... böse

böse

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