Ebenen- und Geradengleichungen

17.04.2010, 17:34	Vanylar	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenen- und Geradengleichungen Hallo, habe folgende Aufgabe zu bearbeiten und wäre sehr dankbar, wenn da mal jemand drüber schauen könnte und mich auf Fehler aufmerksam machen könnte. Eigentlich ist die Aufgabe ja ganz einfach, Schulmathe ist bei mir dann aber doch schon ein Weilchen länger her... Also: Wir betrachten die Punkte P=(1,2,3) und Q=(4,5,6) in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ . (i) Geben Sie die Menge $\begin{eqnarray} G_P \end{eqnarray}$ aller Geraden durch P in Parametergleichung an! (ii) Geben Sie die Menge $\begin{eqnarray} E_Q \end{eqnarray}$ aller Ebenen durch Q durch ihre Ebenengleichungen an! (iii) Beschreiben Sie die Menge M= $\begin{eqnarray} \left\{ (G,E)\mid G \in G_P,E \in E_Q,G und E sind nicht transversal\right\} \end{eqnarray}$ eigentlich sollten die Eigenschaften untereinander stehen, also E Element E_Q sollte eigentlich unter G Element GP stehen usw. habe ich aber nicht hinbekommen mit dem Formeleditor. Meine Lösungen: (i)Nur ein Punkt der durch die gerade geht ist gegeben, deshalb: $\begin{eqnarray} G_P=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+ \lambda \cdot \left[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray}$ mit lambda Element der reellen Zahlen und (x,y,z) Element R^3. (ii) Allgemeine Ebenengleichung: ax+by+cz+d=0 Wir haben nur einen Punkt der Ebene, den Punkt Q, deswegen: $\begin{eqnarray} E_Q \end{eqnarray}$ =a(x-4)+b(y-5)+c(z-6)=0 Naja und bei (iii) weiß ich gar nicht, was ich genau machen soll. Was ist denn mit beschreiben genau gemeint? Also M besteht für mich aus allen Geraden und Ebenen, die nicht transversal sind, woraus folgt, dass alle Geraden dieser Menge entweder in der dazugehörigen Ebene liegen oder parallel zu ihr sind. Ist das mit beschreiben gemeint?
17.04.2010, 18:06	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
(i) und (ii) sind richtig beantwortet. Es handelt sich um ein Geraden- bzw. Ebenenbündel. Und bei (iii) hast du eigentlich nur abzulesen, was in der Mengenbeziehung aufgeschrieben ist, also das Ganze in eine Beschreibung zu "übersetzen". Die Menge besteht demnach nicht nur aus Geraden ... . Du musst dabei die Aussage "nicht transversal" mit hineinnehmen. Was bedeutet diese? mY+
17.04.2010, 20:55	Vanylar	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal Danke für die schnelle Antwort. Nicht transversal bedeutet, dass sich Gerade und Ebene in keinem Punkt schneiden. Folglich muss die Gerade in der Ebene liegen oder parallel zu ihr sein. M besteht aus allen Elementen mit der Form (G,E). Dabei beschreibt (G,E) eine Gerade und eine Ebene, die entweder parallel zueinander sind oder ineinander liegen, wobei G und E dabei aus dem Geraden- bzw. Ebenenbündel stammen. Ist das so richtig?
17.04.2010, 21:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wenn man den Begriff "transversal" geometrisch als "schneidend" deutet. Zuerst war ich geneigt, transversal - wie in der Wellenmechanik - als senkrecht zu interpretieren, was aber hier in dieser Aufgabe nicht zutreffend ist. Somit hast du die Menge richtig beschrieben. mY+

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