Endomorphismen |
| 17.04.2010, 15:38 | Ysmulc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Endomorphismen Sei V ein Vektorraum und phi: V -> V ein Endomorphismus mit phi^2 = phi. a) Zeigen sie, dass phi nur Eigenwerte 0 und 1 haben kann. b) Wieviele Endomorphismen phi: V -> V mit phi^2 = phi gibt es, die nur den Eigenwert 0 haben. c) Wieviele Endomorphismen phi: V -> V mit phi^2 = phi gibt es, die nur den Eigenwert 1 haben. Zu a) Zum einfacheren schreiben nenne ich nun phi = f f^2 = f und f(v)=lambda*v (Eigenwertformel) f^2(v) = f(v) f (f (v)) = f(v) f (lambda*v) = f(v) f (lambda*v) = lambda*v lambda*(lambda*v) = lambda*v lambda^2 *v = lambda*v Die Gleichung ist nur erfüllt wenn lambda = 1 oder lambda = 0 ist. Ich denke mal das die a) richtig ist. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp für die b) geben? Liebe Grüße |
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| 17.04.2010, 16:22 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die a) ist vom Ansatz her gut, aber du hast die Argumentation noch nicht zu Ende geführt. Zur b) Aus folgt doch, dass 1 Eigenwert ist. Außer wenn... Zur c) Solch ein ist injektiv. Warum? Und was folgt daraus zusammen mit ? |
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| 19.04.2010, 12:39 | Ysmulc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu b) f^2(v) = f(v) = lambda * v = 0 ...weil lambda=0 Mit f^2 = f folgt das es nur die konstante Null Funktion sein kann, oder? zu c) Da gilt f^2(v) = f(v) = lambda * v =v (...weil lambda=1) und f injektiv ist, vermute ich, dass die Identitätsfunktion die einzige Funktion ist, die nur den Eigenwert 1 hat. Schon mal vielen Dank! =) |
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| 19.04.2010, 12:59 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Argumentation ist unverständlich, weil du nicht sagst für welche v deine Gleichungen gelten. |
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| 19.04.2010, 13:21 | Ysmulc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, ich dachte die Gleichungen gelten für alle ? |
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| 19.04.2010, 13:25 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das hast du aber nicht bewiesen. |
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| 19.04.2010, 13:29 | Ysmulc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok... und wie beweise ich das? soll ich noch mal zeigen, dass alle injektiv sind? oder was meinst du? |
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| 19.04.2010, 13:45 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vektoren sind nicht injektiv. 
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| 19.04.2010, 18:21 | Ysmulc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich meinte, dass die abbildung für alle v element V uneingeschränkt injektiv ist... langt das als begründung für meine aussage? |
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| 19.04.2010, 18:25 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das macht genausowenig Sinn. Eine Abbildung ist injektiv oder nicht. Das hängt nicht von irgendwelchen Vektoren ab. |
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