[Prüfungsaufgabe] Parameter bestimmen

17.04.2010, 18:22

moxox

[Prüfungsaufgabe] Parameter bestimmen

Hallo,

als Prüfungsvorbereitung habe ich eine Aufgabe der letzten Prüfung versucht zu rechnen, aber leider habe ich keine Ahnung wie ich anfangen muss.

Hier die Aufgabenstellung:

[attach]14299[/attach]

Ist der Zähler von f(x) für diese Aufgabe a) nur relevant?
Dann muss man vllt. den Zähler mir 6 gleichsetzen?! traurig

MFG

Danke schonmal

17.04.2010, 19:19

Louis1991

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RE: [Prüfungsaufgabe] Parameter bestimmen
Nein, auch der Nenner ist für a) relevant.
Ich würde mir einfach mal den Grenzwert für x gegen +/- unendlich von f(x) anschauen. Sobald du weißt, wie der Grenzwert im allgemeinen Fall von a abhängt, musst du nur noch den Wert von a für den hier beschriebenen Fall bestimmen. (Kleiner Tipp: das ist dann wirklich nichtmehr schwer Augenzwinkern

)

mfg

17.04.2010, 21:42

moxox

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danke für die Antwort

also so? verwirrt

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a(x+2)^2}{x^2-8x+b} = \frac{ax^2+4ax+4a}{x^2-8x+b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty } f(x) = 1 \end{eqnarray*}$

Grenzwert ist also 1, oder?

Nun setz ich x = 1 :

$\begin{eqnarray*} f(1)=\frac{9a}{-7+b} \end{eqnarray*}$

und setz die Gleichung gleich 6 und lös nach a auf:

$\begin{eqnarray*} 6 = \frac{9a}{-7+b} |\cdot (-7+b) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6 = 9a |: 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} = a \end{eqnarray*}$

is das die Lösung zu a?

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2}{3}(x+2)^2 }{x^2-8x+b} \end{eqnarray*}$

MFG

PS: ich versuch mich jetzt mal an der b)
Lösung kommt gleich.. hoff ich Big Laugh

17.04.2010, 23:13

moxox

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Aufgabe b)

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4(x+2)^2}{x^2+8x+b} \end{eqnarray*}$

Zuerst habe ich die 1. Ableitung von f(x) gebildet:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-8(6x^2+4x+16-bx-2b)}{(x^2-8x+b)^2} \end{eqnarray*}$

Danach habe ich für x -> 2,5 eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} f'(2,5)=\frac{-508+36b}{(-13,75+b)^2} \end{eqnarray*}$

und die Gleichung mit 0 gleichgesetzt und nach b aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} b = \frac{508}{36} \Rightarrow \frac{254}{18} \end{eqnarray*}$

18.04.2010, 01:36

Louis1991

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Zitat:

Original von moxox
danke für die Antwort

also so? verwirrt

Uh, da ist einiges schief gelaufen....

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty } f(x) = 1 \end{eqnarray*}$ ?
Bei rationalen Funktionen (also Polynom im Zähler und Polynom im Nenner) gibt es 3 Fälle:

1.) Das Polynom im Zähler hat den höheren Grad -> Grenzwert der Funktion ist unendlich
2.) Das Polynom im Nenner hat den höheren Grad -> Grenzwert der Funktion ist 0
3.) Zähler und Nenner haben den gleichen Grad, dann ist der Grenzwert gleich dem Quotient der Koeffizienten der höchsten Potenzen.

Also hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{ax^2+4ax+4a}{x^2-8x+b} \end{eqnarray*}$

Beide Polynome sind gleichen Grades.
Höchste Potenz ist jeweils x².
Koeffizient Zähler: a
Koeffizient Nenner: 1
Grenzwert: a:1= a

Daraus folgt dann, dass a=6 sein muss, damit der Grenzwert von f(x)=6 ist, und f(x) somit eine waagrechte Asymptote bei y=6 hat.

MfG

18.04.2010, 13:01

moxox

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Danke !

Ich hatte für das Polynom im Nenner und Zähler mit dem höchsten Wert, also x² unendlich eingesetzt.
und da unendlich geteilt durch unendlich 1 ist, nahm ich an, dass 1 der Grenzwert sei.
Hatte das a einfach weggelassen.

Also das der Grenzwert a ist, ist mir jetzt klar, aber warum ist a = 6?
bzw wie schreib ich das in einer mathematischen Schreibweise hin?

Wie siehts mit der Lösung zu b) aus? =)

Meine Lösung zu b) steht weiter oben.

MFG

18.04.2010, 13:51

Q-fLaDeN

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@Louis1991

Hier werden keine Komplettlösungen gepostet! Siehe Prinzip "Mathe online verstehen!"
Da moxox die Lösung nun sowieso schon gelesen hat, lass ich es mal dabei, aber beim nächsten Mal zensier ich das natürlich.

@moxox

Unendlich durch Unendlich ist nie und nimmer 1, sondern es ist nicht definiert!

Zitat:

Original von moxox
Also das der Grenzwert a ist, ist mir jetzt klar, aber warum ist a = 6?

Der Grenzwert der Funktion $\begin{eqnarray*} f_a(x) \end{eqnarray*}$ ist a. Wenn a nun gleich 6 ist, dann ist der Grenzwert halt 6, und genau das willst du doch erreichen.
Wie man das aufschreibt?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty} f_a(x) = a~\quad \Rightarrow a = 6 \end{eqnarray*}$

fertig.

18.04.2010, 16:08

moxox

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danke

Könnte mal bitte jemand meine Lösung zu b) überprüfen? =)

MFG

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