Analysis maximaler Flächeninhalt

17.04.2010, 21:26

Mathelover

Analysis maximaler Flächeninhalt

Hallo liebe Boardies, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Könnt ihr mir bitte weiter helfen ?
Mein Ansatz lautet:

$\begin{eqnarray*} f(a,b) = a \cdot b \end{eqnarray*}$

Das ist die Bivariate Funktion. Ich möchte daraus eine Univariate Funktion machen. Also brauch ich die Nebenbedingung. Aber die Nebenbedingung find ich irgendwie nicht. Könnt ihr mir ein paar Tipps geben bitte?

edit// Ist das vielleicht die Nebenbedingung : $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt[2]{25-x²} \end{eqnarray*}$

Dann wäre doch meine Univariate Funktion folgende: $\begin{eqnarray*} f(a) = a* \sqrt[2]{25-a²} \end{eqnarray*}$

17.04.2010, 21:42

mYthos

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Das ist fast richtig. Die Nebenbedingung gilt aber genau genommen für a/2 und b/2. Wenn du jedoch die halben Seitenlängen des Rechteckes mit a und b bezeichnest, dann stimmt die NB und A = 4ab. Dies zu maximieren ist identisch mit der Maximierung von a*b, also kann die Ansatzfunktion durch Division (durch 4) vereinfacht werden, denn diese hat an der selben Stelle ihren Extremwert.

mY+

17.04.2010, 21:55

Mathelover

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Vielen Dank für deine Antwort mYthos,
Also habe ich das richtig verstanden? Ich muss meine Ansatzfunktion: $\begin{eqnarray*} f(x) = a* \sqrt[2]{25-a²} \end{eqnarray*}$ durch 4 teilen, weil es 4 Berührpunkte gibt?:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {a* \sqrt[2]{25-a²}}{4} \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {5a-a²}{4} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich die erste Ableitung bilden, diese Null setzen und auf Extrema untersuchen. Ist das alles richtig so?

Vielen Dank im Voraus
smile

17.04.2010, 22:42

Mathelover

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RE: Analysis maximaler Flächeninhalt
mYthos bist du noch da?

17.04.2010, 23:11

mYthos

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Die Ansatzfunktion ist deswegen durch 4 zu teilen, weil die von dir aufgestellte Nebenbedingung für die halben Seitenlängen gilt. Aber es ist egal, ob du sagst, A/4 soll ein Maximum sein oder A.
Aber einen gravierenden Fehler machst du: Es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 - y^2} \neq x - y \end{eqnarray*}$ !!

mY+

17.04.2010, 23:31

Mathelover

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Achso stimmt du hast recht. Müsste es dann vielleicht so lauten:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a * \sqrt [2] {24a²} \end{eqnarray*}$

?

18.04.2010, 03:03

Mathelover

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stimmt das so?

18.04.2010, 12:23

Mathelover

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mYthos helf mir bitte, ich verzweifle schon die ganze Zeit. Da kommt immer was krummes raus unglücklich

18.04.2010, 15:07

Mathelover

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Kann man mir jemand sagen ob
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt[2]{25-a²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt[2]{24a²} \end{eqnarray*}$

ist?

18.04.2010, 17:39

Pavel

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Zitat:

Original von Mathelover
Kann man mir jemand sagen ob
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt[2]{25-a²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt[2]{24a²} \end{eqnarray*}$

ist?

Probiers doch einfach mal mit nem Beispiel aus...

Sei $\begin{eqnarray*} a=5 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{25-a²} = \sqrt{25-5²} = \sqrt{25-25} = \sqrt{0} = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sqrt{24a²} = \sqrt{24 \cdot 5²} = \sqrt{24 \cdot 25} = \sqrt{600} = 10\sqrt{6} \end{eqnarray*}$

Offenbar ist das nicht das selbe, hm? Ist doch net so schwer, mal nachzuprüfen.
Wie kommst du überhaupt auf diese komische "Umformung"? verwirrt

19.04.2010, 21:47

mYthos

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Also, die Wurzel lässt sich nicht mehr weiter vereinfachen. Lasse sie einfach so stehen. Vergiss aber nicht auf den Faktor a davor! Nun das Ganze nach a ableiten und Null setzen ...

mY+

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