Zwei Würfel gleichzeitig werfen, bei n würfen soll mindestens eine 8 fallen

18.04.2010, 13:27

Duude

Zwei Würfel gleichzeitig werfen, bei n würfen soll mindestens eine 8 fallen

Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe ein Ergebnis heraus, das nicht ganz stimmen kann.

Sie lautet
Ein Dodekaeder ist mit den Zahlen 1 bis 12 beschriftet, ein Oktaeder ist mit den Zahlen 1 bis 8 beschriftet.
Diese beiden Körper werden als Würfel gleichzeitig geworfen.
Dominic bietet Frederic ein Spiel an
Frederic würfelt so lange mit beiden Würfeln, bis mindestens eine 8 fällt, höchstens aber n mal. Fällt eine 8, gewinnt Frederic, fällt bei n Würfen keine 8, gewinnt Dominic.
Wie groß muss n mindestens sein, damit Frederic das Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 75% gewinnt?

Zuerst habe ich die Wahrscheinlichkeit berechnet, in einem Wurf mindestens eine 8 zu werfen, also eine 8 oder zwei Achter.
Diese berechnet sich über das Gegenereignis so:

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{11}{12}\cdot \frac{7}{8}=\frac{19}{96} \end{eqnarray*}$

Jetzt soll er ja n mal würfeln und dabei soll die Wahrscheinlichkeit größer als 75 sein
Also habe ich so angesetzt:

$\begin{eqnarray*} (\frac{19}{96})^n>0,75 \end{eqnarray*}$
auf beiden Seiten den ln genommen und dich Hochzahl vorgezogen:

$\begin{eqnarray*} n \cdot \ln \frac{19}{96}> \ln 0,75 \end{eqnarray*}$

Damit erhalte ich n > 0,17759
Das Vorzeichen dreht sich um, da der ln durch den geteilt wird negativ ist.

Also müsst er 0,17 mal würfeln...
Das kann aber doch nicht sein. Ich hätte eine Zahl im Bereich von 5 bis 20 erwartet, aber weniger als ein mal kann doch nicht sein...

Ich finde leider meinen Fehler nicht.
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.

Gruß,
Duude

18.04.2010, 14:03

PapBear

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Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, aber musst du dass hier nicht über eine Binomialverteilung angehen?
So in der Form

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} = 0,75 \end{eqnarray*}$

Hätte jetzt aber gerade auch keinen Plan wie n und k aussehen müssen. Zu lange her

18.04.2010, 14:16

ObiWanKenobi

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Das problem ist, das die 8 im ersten oder im zweiten oder im dritten.... Wurf kommen kann.

Löse ganz einfach über das Gegenereignis.

Im ersten und im zweiten und im dritten ..... und im n-ten KEINE 8

P(keine 8) muss dan kleiner sein als 0,25

20.04.2010, 11:23

Duude

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ok, ich glaube so müsste das stimmen:

P(keine 8) <0,25
$\begin{eqnarray*} 1-(\frac{77}{96})^n < 0,25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - (\frac{77}{96})^n <-0,75 \end{eqnarray*}$

Wenn ich mit - 1 durchmultipliziere ändert sich das Ungleichheitszeichen.

$\begin{eqnarray*} (\frac{77}{96})^n >0,75 \end{eqnarray*}$

Nun mache ich auf beiden Seiten den ln
$\begin{eqnarray*} ln(\frac{77}{96})^n >ln 0,75 \end{eqnarray*}$
Dann darf ich ja wegen den Rechenregeln des ln die Hochzahl n vorziehen.

$\begin{eqnarray*} n \cdot ln (\frac{77}{96}) > ln 0,75 \end{eqnarray*}$

Und jetzt teile ich noch durch das was mich auf der linken Seite stört.
Damit erhalte ich

$\begin{eqnarray*} n > \frac{ln 0,75}{ ln (\frac{77}{96})} \end{eqnarray*}$

Das ergibt dann 1,3... erscheint mir aber immer noch nicht ganz passend.

Was meinst du?

Oder könnte ich auch einfach die 77/96 mit n multiplizieren und das sollte dann größer als 0,75 sein?

Danke für die Hilfe schon mal im Voraus smile

20.04.2010, 12:03

Huggy

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Zitat:

Original von Duude
ok, ich glaube so müsste das stimmen:

Glauben heißt nicht Wissen. Und in der Mathematik geht es um Wissen.

Zitat:

P(keine 8) <0,25

Das ist der richtige Ansatz, den dir auch schon Obiwankenobi genannt hat.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 1-(\frac{77}{96})^n < 0,25 \end{eqnarray*}$

Und das ist absoluter Murks, obwohl fast 90 % der Symbole richtig und an der richtigen Stelle sind. Das richtige Ergebnis für $\begin{eqnarray*} P(keine 8) \end{eqnarray*}$ bei einem Wurf hast du doch ganz zu Anfang schon benutzt.

Zitat:

Das ergibt dann 1,3... erscheint mir aber immer noch nicht ganz passend.

Weshalb glaubst du dann, dass es stimmt?

Zitat:

Oder könnte ich auch einfach die 77/96 mit n multiplizieren und das sollte dann größer als 0,75 sein?

Also vereinfacht, wenn ich mal auf gut Glück was hinschreibe, könnte es dann richtig sein?
Das ist ja nun der murksigste Murks, den man sich vorstellen kann. Obwohl ich bezweifele, dass dieser Grenzwert existiert.

20.04.2010, 15:20

Duude

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oh, da war ich wohl etwas durcheinander... ich hab die Klammer falsch gesetzt und den Zähler des ersten Bruchs falsch.

Zitat:

Zitat: P(keine 8) <0,25 Das ist der richtige Ansatz, den dir auch schon Obiwankenobi genannt hat.

$\begin{eqnarray*} (1-\frac{19}{96})^n < 0,25 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet dann dass die Wahrscheinlichkeit keine Acht zu würfeln (über das Gegenereignis ausgedrückt) kleiner als 0,25 ist.

$\begin{eqnarray*} (\frac{77}{96})^n < 0,25 \end{eqnarray*}$

Wieder den ln gezogen und die Hochzahl nach vorne

und dann noch durch $\begin{eqnarray*} \ln \frac{77}{96} \end{eqnarray*}$ teilen. Dann ergibt sich

$\begin{eqnarray*} n > \frac{ln(0,25)}{ln\frac{77}{96}}= 6,285 \end{eqnarray*}$

Er muss also mindestens 7 mal würfeln. Also muss n mindestens 7 sein, damit Frederic das Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 75% gewinnt.

Diese Zahl erscheint mir sinnvoll.
Was meint ihr dazu?

20.04.2010, 15:43

Huggy

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Das ist es! Freude

20.04.2010, 15:44

Duude

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ok, vielen Dank für die Hilfe smile

03.09.2010, 20:45

TestOr

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Hallo an alle, bin noch neu hier und schaue so durch das Board,

Darf ich dazu eine Frage stellen?
Es steht in der Angabe, dass er mindestens einen 8ter braucht. Also sind 2 8ter ok?
Und soviel ich verstanden habe, ist dies der Fall bei einem Würfel 1/12 und bei dem anderem 1/8.

So nun addiere ich doch die Wahrscheinlichkeiten, anstatt sie zu multiplizieren, da ja ein zweiter Würfel die Wahrscheinlichkeit erhöhen würde, mind. eine Acht zu bekommen.

Sprich (1/12)+(1/8) also (5/24) sprich die Wahrscheinlichkeit für mid. einen Achter ist bei einem Wurf 20,83 %

Was meint Ihr?

mfg

04.09.2010, 09:58

Huggy

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Zitat:

Original von TestOr
So nun addiere ich doch die Wahrscheinlichkeiten, anstatt sie zu multiplizieren,

Das ist nicht richtig. Wahrscheinlichkeiten addieren darf man nur, wenn sich die Ereignisse gegenseitig ausschließen, Das ist hier nicht der Fall. Wenn du nicht wie oben über das Gegenereignis gehen möchtest, kannst du entweder nach folgender Regel vorgehen:

$\begin{eqnarray*} P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\frac{1}{12}+\frac{1}{8}-\frac{1}{12}\frac{1}{8}=\frac{19}{96} \end{eqnarray*}$

Oder du betrachtest die drei einander ausschließenden Ereignisse

Dodekaeder 8 und Oktaeder keine 8
Dodekaeder keine 8 und Dodekaeder 8
Dodekaeder 8 und Oktaeder 8

Deren Wahrscheinlichkeiten darfst du addieren. Das ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{12}\frac{7}{8}+\frac{11}{12}\frac{1}{8}+\frac{1}{12}\frac{1}{8}=\frac{19}{96} \end{eqnarray*}$

04.09.2010, 23:30

TestOr

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Ja das stimmt, tatsächlich ich habe in meiner Formelsammlung nachgesehen, danke das wird mir mby meinen Kopf retten Augenzwinkern

Also darf ich nochmal zusammenfassen?
Der Additionssatz für 2 unvereinbare Ereignisse, sprich Ereignisse die sich gegenseitig ausschließen ist der einfache. Da darf die Wahrscheinlichkeit addiert werden.
Sprich, wenn in der Angabe stehen würde "Entweder ein Würfel = 8, oder der Andere aber nicht beide, dann hätte ich die Wahrscheinlichkeiten addieren dürfen und diese wäre (5/20).

Kannst Du mir vielleicht ein paar weiter Beispiele für die jeweiligen Additionssätze, posten? Um dies zu untermauern?

mfg verwirrt

05.09.2010, 21:33

Huggy

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Zitat:

Original von TestOr

Also darf ich nochmal zusammenfassen?
Der Additionssatz für 2 unvereinbare Ereignisse, sprich Ereignisse die sich gegenseitig ausschließen ist der einfache. Da darf die Wahrscheinlichkeit addiert werden.
Sprich, wenn in der Angabe stehen würde "Entweder ein Würfel = 8, oder der Andere aber nicht beide, dann hätte ich die Wahrscheinlichkeiten addieren dürfen

Ja.

Zitat:

und diese wäre (5/20).

Nein. Wie kommst du denn auf die Zahl?

07.09.2010, 18:13

TestOr

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Sry meinte (5/24) Augenzwinkern

Durch die Addition von 1/8 + 1/12, sprich der Wahrscheinlichkeiten.

lg

07.09.2010, 19:27

Huggy

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Nein, nein, nein! unglücklich

1/8 ist nicht die Wahrscheinlichkeit, mit dem Oktaeder eine 8 zu werfen und mit dem Dodekaeder gleichzeit keine 8 zu werfen. Das ist die Wahrscheinlichkeit, mit dem Oktaeder eine 8 zu werfen, egal was der Dodekaeder zeigt. Da ist also die Möglichkeit, dass der Dodekaeder auch eine 8 zeigt, mit drin.
Und entsprechend ist in den 1/12 die Möglichkeit enthalten, dass der Oktaeder gleichzeitig ein 8 zeigt.
Die Fälle, bei denen beide Würfel eine 8 zeigen, hast du jetzt sogar doppelt drin und die sollten doch gar nicht drin sein.

Die zu addierenden Wahrscheinlichkeiten stehen doch schon oben, als ich das in drei einander ausschließende Fälle aufgegliedert habe. Wenn genau einer der Würfel eine 8 zeigen soll, sind davon die ersten beiden zu nehmen und zu addieren.

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