Teilmengen kompelxer Zahlen

18.04.2010, 16:45

Jessy90

Teilmengen kompelxer Zahlen

Meine Frage:
Hallo ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter:

Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge $\begin{eqnarray*} B=B1 \cap B2 \end{eqnarray*}$ mit:
$\begin{eqnarray*} B1= \left\{z\in C: 1\leq (z-i)(z+i)\leq 4\right\} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} B2= \left\{z\in C:z^4+ |z|^4= 0\right\} \end{eqnarray*}$ .

Ich versteh einfach nicht wie und ob ich da was ausrechnen muss, da ich ja für z keine Zahlen angegeben habe.

Hoff ihr könnt mir weiterhelfen.

Gruß Jessy

Meine Ideen:
Ich hab bei B1: einfach mal(z-i)(z+i) ausmultipliziert und da kommt z^2+i raus.
Ist das dann ne Parabel oder sowas? Hab auf jeden Fall keine Ahnung und brauche eure Hilfe.

18.04.2010, 17:03

kiste

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Die Aufgabenstellung macht so leider keinen Sinn, es gibt kein <= in den komplexen Zahlen

18.04.2010, 17:12

Jessy90

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Das heißt ja nur dass die Menge zwischen +1 und +4 liegen muss.

18.04.2010, 17:14

kiste

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Eine Menge liegt zunächst mal nicht zwischen 2 Zahlen.

Und was soll da für z=1+i rauskommen? Dann haben wir (z-i)(z+i) = z+i = 1 + 2i.
Ist 1+2i jetzt kleiner oder größer als 4?

18.04.2010, 17:27

Jessy90

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ok danke, hab da was falsch gerechnet.

Die Aufgabenstellung stimmt leider schon. Stammt von meinem MatheProf und war vor zwei Monaten Prüfungsaufgabe.

Hast du auch ne Idee für B2?

18.04.2010, 17:29

kiste

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Dann schreibst du einfach dass die Aufgabe nicht wohldefiniert ist. Fertig.
Man kann nunmal eine Aufgabe nicht lösen wenn sie nicht sinnvoll ist.

B2 würde ich mit Polarform durchrechnen

19.04.2010, 07:21

Leopold

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Zitat:

Original von kiste
B2 würde ich mit Polarform durchrechnen

Oder eine Mischung von Algebra und Geometrie. Man sieht zunächst, daß $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ die Gleichung löst. Und für $\begin{eqnarray*} z \neq 0 \end{eqnarray*}$ erhält man wegen $\begin{eqnarray*} |z|^2 = z \bar{z} \end{eqnarray*}$ nach Division durch $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} z^2 + \bar{z}^2 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \bar{z}^2 = - z^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ \bar{z} = \pm \operatorname{i} z \end{eqnarray*}$

Jetzt ist $\begin{eqnarray*} z \mapsto \bar{z} \end{eqnarray*}$ die Spiegelung an der reellen Achse und $\begin{eqnarray*} z \mapsto \pm \operatorname{i} z \end{eqnarray*}$ die 90°-Drehung um den Ursprung gegen bzw. im Uhrzeigersinn.

Man kann also die letzte Gleichung so übersetzen: Für welche Punkte erhält man dasselbe, wenn man sie um 90° dreht, wie wenn man sie an der reellen Achse spiegelt?

Natürlich erhält man die Antwort auch rechnerisch, wenn man die letzte Doppelgleichung in Real- und Imaginärteil trennt.

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