Vollst. Induktion - Ungleichung mit n >= 3

18.04.2010, 17:11

Serpent

Vollst. Induktion - Ungleichung mit n >= 3

Hey Mitglieder des Matheboards!

Leider hänge ich ziemlich an einer Aufgabe, die ich nicht wirklich lösen kann bzw. gelöst habe, das Ergebnis mir aber ziemlich suspekt erscheint. Ich würd mich freuen, wenn ihr mir einen kleinen Tipp geben oder mir eine Richtung weisen könnt, in der ich weiterrechnen kann.

Die Aufgabe lautet:
Zeige für alle $\begin{eqnarray*} n~\geq 3 : \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+n} \leq \frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$

So, und $\begin{eqnarray*} n~\geq 3 \end{eqnarray*}$ bedeutet doch, dass n direkt größer gleich 3 ist, also folglich der Induktionsanfang so aussieht:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{3} \frac{1}{k+3} \leq \frac{3-1}{3} \end{eqnarray*}$

Aufgelöst ist das dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{37}{60} \leq \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Dann kommt die Annahme, dass die Aussage für A(n) gilt, und die Aussage dementsprechend auch für A(n+1) gelten muss.

Also hier mein Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k+n} \leq \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Und hier beginnen meine Zweifel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+n} + \frac{1}{2n + 1} \leq \frac{n- 1}{n} + \frac{1}{2n + 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n- 1}{n} + \frac{1}{2n + 1} | \end{eqnarray*}$ links einen gleichen Nenner $\begin{eqnarray*} \cdot (2+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)(2+\frac{1}{n}) + 1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n + \frac{1}{n})}{2n + 1} \end{eqnarray*}$

Und an dieser Stelle bin ich mir absolut unsicher. Ich habs einfach mal weiterausgeführt.
Jetzt schreibe ich doch $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} \leq \frac{2n + \frac{1}{n}}{2n + 1} \end{eqnarray*}$ , oder?
Oh man. Jedenfalls hab ichs dann mit (n+1) multipliziert und die Gleichung so gut geht es geht vereinfacht. Letztlich steht
$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{n} \leq n \end{eqnarray*}$ , das so ohne weiteres richtig wäre, allerdings höchstwahrscheinlich überhaupt nicht die Lösung der Aufgabe ist. Ergo alles Mist wär. :|

Ich hab mich mal an Latex versucht, echt klasse, dass alles gleich viel übersichtlicher aussieht.

Danke schonmal!

18.04.2010, 19:39

Kühlkiste

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RE: Vollst. Induktion - Ungleichung mit n >= 3

Zitat:

Original von Serpent
Also hier mein Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k+n} \leq \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Und hier beginnen meine Zweifel:

Deine Zweifel sind berechtigt, denn Du musst schon konsequent n+1 statt n einsetzen.
Also ist für den Induktionsschritt zu zeigen, dass unter der Induktionsvoraussetzung gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} \frac 1{k+n+1} \leq \frac{n}{n+1}. \end{eqnarray*}$

18.04.2010, 20:03

Serpent

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Ah, danke Kühlkiste!

Würde die Indexverschiebung dann so aussehen?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k + n + 1} + \frac{1}{2n + 2} \leq \frac{n-1}{n} + \frac{1}{2n + 2} \end{eqnarray*}$

Oder kehrt die Summenformel nach der Indexverschiebung in die Ausgangsgleichung zurück? $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k + n} \end{eqnarray*}$ Vermutlich

Schließlich rechne ich doch wie gehabt weiter, oder?

Vor allem dreht sich meine Frage um den letzten Schritt: Was setze ich letztlich neben das Ergebnis? Hierauf bezogen:

Zitat:

Jetzt schreibe ich doch $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} \leq \frac{2n + \frac{1}{n}}{2n + 1} \end{eqnarray*}$ , oder?

19.04.2010, 01:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von Serpent
Würde die Indexverschiebung dann so aussehen?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k + n + 1} + \frac{1}{2n + 2} \leq \frac{n-1}{n} + \frac{1}{2n + 2} \end{eqnarray*}$

Mal davon abgesehen, dass diese Ungleichung ein falscher Schluss ist, sehe ich da keine Indexverschiebung. Du solltest

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k + n + 1} \end{eqnarray*}$

so umformen, dass du auf einen Teil die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst.

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