Gruppoide

18.04.2010, 17:25

mecedes

Gruppoide

Hallo,

komme bei zwei Aufgaben nicht weiter:

(Abb({a,b},{a,b}), o)

({f E Abb({a,b},{a,b})/f nicht bijektiv}, o ) sind Gruppoide.

Nun soll bestimmt werden, ob sie kommutativ, assoziativ sind und ob ein neutrales Element existiert.

Bei der Aufgabe davor ging es recht einfach (Abb(R,R),o).
Hier habe ich mir einfach zwei reelle Funktionen ausgedacht, sie verkettet und bin zu dem Ergebnis gekommen, dass das Gruppoid ein neutrales Element id und eine Halbgruppe besitzt, also assoziativ ist. Kommunikativ ist dieses Gruppoid nicht.

Aber wie gehe ich bei der oben genannten Aufgabe vor? Denkt man sich hier auch eine Funktion aus?

Bin dankbar für Eure Hilfe!

Lg mecedes

18.04.2010, 23:49

WebFritzi

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Zitat:

Original von mecedes
Bei der Aufgabe davor ging es recht einfach (Abb(R,R),o).
Hier habe ich mir einfach zwei reelle Funktionen ausgedacht, sie verkettet und bin zu dem Ergebnis gekommen, dass das Gruppoid ein neutrales Element id und eine Halbgruppe besitzt, also assoziativ ist. Kommunikativ ist dieses Gruppoid nicht.

LoL

Du meinst natürlich "kommutativ"... Und eine Halbgruppe "besitzen" tut dieses Gruppoid nicht. Du meinst: Das Gruppoid ist eine Halbgruppe, nicht wahr?

Zitat:

Original von mecedes
Aber wie gehe ich bei der oben genannten Aufgabe vor?

Die Verkettung von Funktionen ist immer assoziativ. Das geht hier so: Seien $\begin{eqnarray*} f,g,h\in {\rm Abb}(\{a,b\},\{a,b\}). \end{eqnarray*}$ Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} x\in\{a,b\}: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f\circ (g\circ h))(x) = f((g\circ h)(x)) = f(g(h(x))) = (f\circ g)(h(x)) = ((f\circ g)\circ h)(x), \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} f\circ (g\circ h) = (f\circ g)\circ h. \end{eqnarray*}$ Zur Kommutativität überleg dir selber mal was. Und was könnte hier wohl ein neutrales Element sein?

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